2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A版必修4

第一章三角函数1．1.2弧度制[学习目标]1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式(重点、难点)．3.“角度制”与“弧度制”的区别与联系(易错点、易混点)．[知识提炼·梳理]1．角的单位制(1)角度制和弧度制．角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，制定1度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的求法．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝lr．温馨提示可以证明，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关．2．角度与弧度的换算(1)角度与弧度的互化．(2)一些特殊角与弧度数的对应关系．度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π180π6π4π3π22π33π45π6π3π22π温馨提示弄清1弧度的角的含义，是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．3．扇形的弧长与面积公式αα为度数α为弧度数扇形的弧长l＝απR180°l＝αR扇形的面积S＝απR2360°S＝12lR＝12αR2[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个角的大小为4，这里“4”指的是4°.()(2)半径越大的圆中，1rad的圆心角越大．()(3)“度”与“弧度”都是用来度量角的单位．()答案：(1)×(2)×(3)√2．下列说法正确的是()A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1°的弧与1°的角之和D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角解析：由1弧度的定义可知D正确．答案：D3．将1920°转化为弧度数为()A.163B.323C.16π3D.32π3解析：1920°＝1920×π180＝32π3.答案：D4.已知扇形的半径为1，圆心角为1弧度，则其面积是________．解析：由弧长公式可得扇形的弧长为l＝α·R＝1，故其面积为S＝12lR＝12×1×1＝12.答案：125．圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．解析：设原来圆的半径为R，弧长为l，圆心角为θ，变化后圆的半径为3R，圆心角为θ′，则θ′＝l3R＝13θ.所以该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的13.答案：13类型1弧度制的概念(自主研析)[典例1]下列各种说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180°的角一定等于πrad的角D．利用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径长短有关解析：A，B，C正确，D中角的大小只与弧长与半径的比值有关，与圆半径无关．答案：D归纳升华1．对于概念类题目，要从定义入手，仔细分析每一句话，并注意与概念的异同点．2．不管是以“弧度”为单位的角，还是以“度”为单位的角，其大小都与圆的半径大小无关．[变式训练](1)在半径不相等的两个圆内，1弧度的圆心角()A．所对弧长相等B．所对的弦长相等C．所对弦长等于各自半径D．所对弧长等于各自半径(2)圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C.3D．2解析：(1)根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是和弧长与半径的比值有关，所以由|α|＝lr得，l＝|α|r，故D正确．(2)设圆内接正三角形边长为a，则圆的半径r＝33a，所以a＝3r，因此α＝lr＝3.答案：(1)D(2)C类型2弧度与角度的互化及应用[典例2]把下列各角从角度化成弧度或从弧度化成角度(不必求近似值)．(1)10°；(2)－10°30′；(3)1.5rad；(4)－7π12rad.解：(1)10°＝10×π180rad＝π18rad.(2)－10°30′＝－10.5°＝－212×π180rad＝－7π120rad.(3)1.5rad＝1.5×180π°＝270π°.(4)－7π12rad＝－712×180°＝－105°.归纳升华角度与弧度互化的关键和方法1．关键：抓住180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180π°进行换算．2．方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180π°，n°＝n·π180.[变式训练]把下列各角从角度化成弧度或从弧度化成角度(不必求近似值)．(1)－210°；(2)400°；(3)－π5rad；(4)11π36rad.解：(1)－210°＝－210×π180rad＝－7π6rad.(2)400°＝400×π180rad＝20π9rad.(3)－π5rad＝－π5×180π°＝－36°.(4)11π36rad＝11π36×180π°＝55°.类型3扇形弧长与面积公式的应用(互动探究)[典例3]已知扇形周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π)，弧长为l，半径为r，则l＋2r＝10，12l·r＝4，解得r＝1，l＝8或r＝4，l＝2.代入弧长公式l＝θ·r⇒θ＝lr，所以有θ＝8rad2π(rad)(舍去)或θ＝12(rad)．即θ＝12(rad)．[迁移探究1](变换条件、改变问题)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．解：设扇形弧长为l，因为圆心角72°＝72×π180＝2π5rad，所以扇形弧长l＝|α|·r＝2π5×20＝8π，于是，扇形的面积S＝12l·r＝12×8π×20＝80π.[迁移探究2](变换条件、改变问题)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，则l＋2r＝4，所以l＝4－2r21＋πr2，所以S＝12l·r＝12×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，因此，θ＝lr＝4－2×11＝2(rad)．归纳升华1．有关扇形的弧长l，圆心角α(0α2π)，面积S的题目，一般是知二求一．解此类题目的关键在于灵活运用l＝α·r，S＝12lr＝12αr2两个公式，采用消元思想加以解决．2．扇形周长及面积的最值问题：(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值，其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0l2πr.(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值．其求法是把周长L转化为关于r的函数，但要注意r的取值范围．1．弧度与角度的互化．(1)在进行角度与弧度的互化时，抓住关系式πrad＝180°是关键．由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π°＝度数．(2)将角度化为弧度，当角度中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”表示，再利用1°＝π180rad化为弧度．(3)特殊角的弧度数与度数对应值今后会常用到，应该熟记．2．弧长公式、扇形面积公式的应用．在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及联系，在圆心角、半径、弧长、面积这些量中，只要知道其中两个量，便可求出其他的量，注意与扇形中其他量的联系．如弦心距、弦的一半与半径构成直角三角形等．3．角度制与弧度制的比较．角度制用度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“°”不能省略角的正负与方向有关六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad”可以省略角的正负与方向有关十进制