2019秋高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 高度、角度问题课件 新人教A版必修

第一章解三角形第2课时高度、角度问题[学习目标]1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.学会将实际问题转化为解三角形问题．[知识提炼·梳理]1．(1)A点望B、C的视角是指∠BAC的大小．(2)在△ABC中，A＝105°，B＝30°，则C点望A、B的视角为45°．2．(1)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．(2)沿坡角为45°的斜坡直线向上行走100米，实际升高了502米．3．东北方向是指东偏北45°的方向．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条山路的坡角是30°，则你每沿山路走100m，升高50m．()(2)山上B点望山下A点俯角为15°，则山下A点望山上B点仰角为75°.()(3)飞机正向东偏北45°飞，若向右水平转105°，此时飞机飞行方向是东偏南60°.()(4)方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°方向，灯塔B在观察站C的南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东5°方向B．北偏西10°方向C．南偏东5°方向D．南偏西10°方向解析：由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.因为AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向．答案：B3．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A．d1d2B．d1d2C．d120mD．d220m解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1d2.答案：B4．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解：设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AC＝30tan30°＝303(m)，BC＝30tan45°＝30(m)，∠C＝30°，AB2＝(303)2＋302－2×303×30×cos30°＝900，所以AB＝30(m)．答案：305．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m.解析：如图，过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝ADsin∠ADBsin∠ABD＝1000sin150°sin15°＝500(6＋2)．所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(3＋1)．答案：500(3＋1)类型1用正余弦定理求平面中高度问题[典例1]某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．解：由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD，得Htanα＋htanβ＝Htanβ，解得H＝htanαtanα－tanβ＝4×1.241.24－1.20＝124.因此电视塔的高度H是124m.归纳升华解决测量高度问题的一般步骤1．画图：根据已知条件画出示意图．2．分析三角形：分析与问题有关的三角形．3．求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．[变式训练]如下图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为60°，在塔底C处测得A处的俯角为45°.已知铁塔BC部分的高为30m，求山高CD.解：在△ABC中，∠BCA＝90°＋45°＝135°，∠ABC＝90°－60°＝30°，∠BAC＝60°－45°＝15°，∠BAD＝60°.根据正弦定理：BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，所以AB＝BCsin∠BCAsin∠BAC＝30(3＋1)，在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝15(3＋3)，CD＝BD－BC＝15(1＋3)．故山的高度为15(1＋3)米．类型2用正余弦定理求空间中高度问题[典例2]如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解：由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，要求CD只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin15°＝ADsin45°，得AD＝AB·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)．即山高CD为800(3＋1)m.归纳升华1．解决测量高度问题时，可在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解决．2．对于常见的仰角和俯角的问题，要清楚它们的区别及联系．3．解决测量底部不能到达的建筑物的高度问题时，一般是将其转化为直角三角模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理来解决．4．“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．[变式训练]如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理，得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD.所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsin（α＋β）.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·tanθsinβsin（α＋β）.类型3角度问题[典例3]如图所示，在坡度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进了100米后到达B点，又从B点测得建筑物顶端C对于山坡的斜度为45°，已知建筑物的高度为50m，求此山坡相对于水平面的倾斜角θ的大小(精确到1°)．解：在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，所以∠ACB＝30°.又AB＝100m，在△ABC中，由正弦定理，得100sin30°＝BCsin15°，所以BC＝100sin15°sin30°，在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，CD＝50m，由正弦定理得：50sin45°＝BCsin（90°＋θ），即：50sin45°＝100sin15°sin30°sin（90°＋θ），解得cosθ＝3－1，所以θ≈43°，故山坡相对于水平面的倾斜角约为43°.归纳升华解测量角度问题时画示意图的基本步骤[变式训练]如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：D类型4航行问题(互动探究)[典例4]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度向正东方向匀速行驶，经过t小时小艇与轮船相遇．假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由．解：设小艇航行速度的大小是v海里/时，如图所示，设小艇与轮船在B处相遇．由余弦定理得：BO2＝AO2＋AB2－2AO·ABcosA.所以(vt)2＝400＋(30t)2－2×20×30t·cos(90°－30°)，即(v2－900)t2＋600t－400＝0(其中0＜v≤30)．(1)当0＜v＜30时，则Δ＝360000＋1600(v2－900)＝1600(v2－675)，令Δ＝0，即1600(v2－675)＝0，则v＝153，当0＜v＜153时，两船不会相遇．当153≤v＜30时，此时t＝－300±20v2－675v2－900.当t＝－300－20v2－675v2－900时，令x＝v2－675，则x∈[0，15)，t＝－300－20xx2－225＝－20x－15≥43，当且仅当x＝0，即v＝153时，等号成立；当t＝－300＋20v2－675v2－900时，同理可得23＜t≤43.综上可得，当153≤v＜30时，t＞23.(2)当v＝30时，可求得t＝23.综合(1)(2)可知，当v＝30时，t取得最小值，且最小值是23，此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，所以可设计方案如下：小艇的航行方向是北偏东30°，航行速度为30海里/时，此时小艇能以最短的时间与轮船相遇．[迁移探究]典例4中若小艇无最高航行速度限制，其他条件不变．问：(1)若希望相遇时小船行距最小，则小艇航行速度为多少？(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇，试求小艇航行速度的最小值．解：(1)设相遇时小艇航行距离为s，则s＝（30t）2＋202－2·30t·20cos（90°－30°）＝900t2－600t＋400＝900t＋132＋300，故当t＝13时航行距离最小为s＝103海里，此时v＝10313＝303(海里/时)，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示，由余弦定理OB2＝OA2＋AB2－2OA·AB·cos∠OAB得：(vt)2＝202＋(30t2)－2×20×30tcos(90°－30°)，化简得v2＝400t2－600t＋900＝4001t－342＋675，由于0＜t≤12，所以1t≥2.故当1t＝2时，v取最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．归纳升华1．解决有关航行问题，关键是弄懂一些数学术语的含义，根据题意作出草图后，再运用正弦、余弦定理来求解．2．解决这类问题时一定要搞清方位角，另外需注意的一点就是选择好不动点．[变式训练]我缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向，距小岛12海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一艘走私船正开始向小岛北偏西10°的方向行驶，测得其速度为每小时10海里，问我巡逻艇需以多大速度朝什么方向航行才能恰好在两小时后截获该走私船(参考数据：sin38°≈0.62)?解：如右图所示，AC所在射线即为走私船航行路线，假设我巡逻艇在C处截获走私船，我巡逻艇的速度为每小时x海里，则BC＝2x，AC＝20海里．依题意∠BAC＝180°－50°－10°＝120°，由余弦定理BC2＝AB2＋CA2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝784，BC＝28，所以x＝14.又由正弦定理sin∠ABC＝ACsin∠BACBC＝20×3228≈0.62，所以∠ABC＝38°.在Rt△ADB中，∠ABD＝40°，所以∠EBC＝90°－38°－40°＝12°.即我巡逻艇用每小时14海里的速度向北偏东12°的方向航行．1．在研究三角形时，灵活根据两个定理寻找到的解决问题的方案可能有多种，那如何找到最优的方案呢？最主要的还是根据两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式，避免烦琐的计算过程．2．解答测量底部不可到达的建筑物的高度问题时，由于底部不可到达，所以不能直接用解直角三角形的方法来求解，但可用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部与一个可到达的点之间的距离，然后将其转化为解直角三角形