2019秋高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第3课时 正、余弦定理的综合应用课

第一章解三角形第3课时正、余弦定理的综合应用[学习目标]1.掌握正弦定理、余弦定理，并能利用正、余弦定理解决综合问题．2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用．[知识提炼·梳理]1．三角形内的角的函数关系在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则有：(1)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC．(2)sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2．2．正弦定理及其变形(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R．(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R．3．余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc．(2)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角．4．三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝12bcsinA＝12ac·sinB＝12ab·sinC，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S△ABC＝12a·h，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．()(2)ab＋c＝23，则sinAsinB＋sinC＝23.()(3)a2b＝53，则sin2AsinB＝53.()(4)a2＋b2＋ab＝c2，则C＝π3.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3解析：由正弦定理得2sinA·sinB＝3sinB，所以sinA＝32，又因为△ABC为锐角三角形，所以0Aπ2，所以A＝π3.答案：D3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为()A．3B．33C．6D．63解析：S＝12absinC＝12×4×3×32＝33.答案：B4．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为32，则C＝()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由正弦定理，得sinBAC＝sinCAB，即12＝sinC3，sinC＝32，又0°C180°，所以C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，解三角形可得S△ABC＝34≠32不符合题意．而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝32，符合题意，故C＝60°.答案：C5．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是________三角形．解析：因为acosA＝bcosB，所以sinAcosB－sinBcosA＝0，所以sin(A－B)＝0，因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，所以A＝B.同理B＝C，所以A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形．答案：等边类型1三角形的面积[典例1]在△ABC中，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.解：因为cosB2＝255，所以cosB＝2cos2B2－1＝35.所以B∈0，π2，所以sinB＝45.因为C＝π4，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝7210.因为asinA＝csinC，所以c＝asinCsinA＝27210×22＝107.所以S＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.归纳升华1．在解求三角形面积S的问题时，注意恰当选用三角形面积公式S＝12ab·sinC＝12ac·sinB＝12bc·sinA，与公式S＝12×底×高一样，三角形面积公式也有多种形式，故需恰当选择．2．注意综合应用三角函数和倍角公式、正弦定理求三角形的相关要素．[变式训练](2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：因为bsinC＋csinB＝4asinB·sinC，所以bsinB＋csinC＝4a，即2·asinA＝4a，所以sinA＝12，又cosA＝b2＋c2－a22bc＝82bc＞0，所以cosA＝32，所以bc＝833.S△ABC＝12bc·sinA＝12×833×12＝233.答案：233类型2正、余弦定理的综合应用(规范解答)[典例2](本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．[规范解答](1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(其中R为△ABC外接圆半径)，所以cosA－2cosCcosB＝2c－ab＝2sinC－sinAsinB，(2分)点评：此处实现了边角关系的统一，是解此题的关键．所以sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－sinAcosB，即sinAcosB＋sinBcosA＝2sinBcosC＋2sinCcosB，所以sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，所以sinCsinA＝2.(4分)点评：在解答过程中，若无法正确运用两角和的正弦公式及诱导公式，则无法推出sinA与sinC的关系，那么此题第(1)问最多得2分．(2)由(1)知sinCsinA＝2，由正弦定理得ca＝sinCsinA＝2，即c＝2a.(6分)点评：此处实现了边角关系的统一，是解此题的关键．又因为△ABC的周长为5，所以b＝5－3a.(8分)由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB.即(5－3a)2＝a2＋(2a)2－4a2×14，(10分)点评：在解答过程中，若没想到利用余弦定理列出此处的方程，就无法求出a，那么此题的第(2)问只能得4分．解得a＝1，或a＝5(舍去)，(11分)所以b＝5－3×1＝2.(12分)归纳升华在解答应用正、余弦定理的综合性题目时，统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．[变式训练]在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)由bsinA＝3acosB及正弦定理得sinB＝3cosB，即tanB＝3，因为B是三角形的内角，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及正弦定理得c＝2a.由余弦定理及b＝3，得9＝a2＋c2－2accosπ3，即9＝a2＋4a2－2a2，所以a＝3，c＝23.类型3正、余弦定理与平面向量的综合应用[典例3]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝35，且AB→·BC→＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.解：(1)因为AB→·BC→＝－21，所以BA→·BC→＝21.所以BA→·BC→＝BA→·BC→·cosB＝accosB＝21.所以ac＝35，因为cosB＝35，所以sinB＝45.所以S△ABC＝12acsinB＝12×35×45＝14.(2)因为ac＝35，a＝7，所以c＝5.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32，由正弦定理csinC＝bsinB，所以sinC＝cbsinB＝542×45＝22.因为c＜b且B为锐角，所以C一定是锐角．所以C＝45°.归纳升华1．解答向量与正、余弦定理的综合题的关键是揭开向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．2．求向量数量积时应注意向量的方向．3．利用余弦定理、正弦定理分别列方程，要有列方程组、解方程组的意识．[变式训练]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝2cosA2，sinA2，n＝cosA2，－2sinA2，有m·n＝－1.(1)求cosA的值；(2)若a＝23，b＝2，求c的值．解：(1)因为m＝2cosA2，sinA2，n＝cosA2，－2sinA2，m·n＝－1，所以2cos2A2－2sin2A2＝－1，所以2cosA＝－1，cosA＝－12.(2)由(1)知cosA＝－12，因为0Aπ，所以A＝2π3.因为a＝23，b＝2，由正弦定理，得23sin2π3＝2sinB，所以sinB＝12.因为0Bπ，BA，所以B＝π6，所以C＝π－A－B＝π6＝B，所以c＝b＝2.1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．2．对于给出的条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数式恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；解决平面向量与解三角形的交汇问题，应准确运用向量知识将其转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理来求解．