2019秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最大（

第一章集合与函数概念第2课时函数的最大(小)值[学习目标]1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(重点)．2.会求简单函数的最大值或最小值(重点、难点)．[知识提炼·梳理]函数的最大(小)值项目最大值最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M条件存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标表示maxmin[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)≤1恒成立，则f(x)的最大值为1.()(2)任何函数都有最大值或最小值．()(3)函数的最小值一定比最大值小．()解析：(1)错，如f(x)＝x，x∈(－∞，1)，有f(x)≤1恒成立，但f(x)≠1.(2)错，如f(x)＝2x，x∈R，既无最大值又无最小值．(3)错，如f(x)＝1，x∈R，其最大值与最小值相等．答案：(1)×(2)×(3)×2．函数y＝2x2－1，x∈N*的最值情况是()A．无最大值，最小值是1B．无最大值，最小值是－1C．无最大值，也无最小值D．不能确定最大、最小值解析：因为x∈N*，且函数在(0，＋∞)上单调递增，故函数在x＝1时取得最小值，最小值为1，无最大值．答案：A3．当0≤x≤2时，a－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：a－x2＋2x恒成立，则a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值为0，故a0.答案：C4．若函数y＝kx(k0)在[2，4]上的最小值为5，则k＝________.解析：因为k0，所以函数y＝kx在[2，4]上是减函数，所以当x＝4时，y＝k4最小，由题意知k4＝5，k＝20.答案：205．函数f(x)＝x2＋4x＋a在区间(－3，3)上的最小值为________．解析：f(x)＝x2＋4x＋a＝(x＋2)2＋a－4，因为－3x3，所以f(x)在(－3，3)上的最小值为f(－2)＝a－4.答案：a－4类型1利用函数图象求最值(自主研析)[典例1]已知函数f(x)＝x2－x，0≤x≤2，2x－1，x＞2，求函数f(x)的最大值、最小值．解：作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝12时，f(x)取最小值为－14.所以f(x)的最大值为2，最小值为－14.归纳升华用图象法求最值的三个步骤[变式训练](1)函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，f(3)B．0，2C．f(－2)，2D．f(2)，2(2)记min{a，b}＝a，a≤b，b，ab.若f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．解析：(1)由图象可知，x＝－2时，f(x)取得最小值为f(－2)＝－1，x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝2.(2)由题意，知f(x)＝x＋2，0≤x≤4，10－x，x4，易知f(x)max＝f(4)＝6.答案：(1)C(2)6类型2利用单调性求函数的最值[典例2]已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3，5]．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)f(x)是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1x2，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝3（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2），因为3≤x1x2≤5，所以x1－x20，(x1＋2)(x2＋2)0，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)在[3，5]上为增函数．(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，则f(x)max＝f(5)＝47，f(x)min＝f(3)＝25.归纳升华1．利用单调性求最值的一般步骤：(1)判断函数的单调性；(2)利用单调性写出最值．2．利用单调性求最值的三个常用结论．(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是单调增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是单调增函数，在区间[b，c)上是单调减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是单调减函数，在区间[b，c)上是单调增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．[变式训练]已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)是R上的单调递减函数；(2)求f(x)在[－3，3]上的最小值．(1)证明：设x1和x2是任意的两个实数，且x1＜x2，则x2－x1＞0，因为x＞0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0.又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＜0，所以f(x2)＜f(x1)．所以f(x)是R上的单调递减函数．(2)解：由(1)可知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3，3]上也是减函数，所以f(x)在[－3，3]上的最小值为f(3)．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)，f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝3×－23＝－2，即f(x)在[－3，3]上的最小值为－2.类型3二次函数的最值(互动探究)[典例3]已知二次函数f(x)的图象过点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0，3]上的最值．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a＝2.即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.(2)f(x)＝2(x－1)2－8，当x∈[0，3]时，x＝1时，有最小值．f(x)min＝f(1)＝－8，当x＝3时，有最大值，f(x)max＝f(3)＝0.[迁移探究1](将定区间改为动区间)设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．解：因为函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以其图象的对称轴为直线x＝1，因为x＝1不一定在区间[－2，a]内，所以应进行讨论．当－2a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；当a1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.综上，g(a)＝a2－2a，－2a≤1，－1，a1.[迁移探究2](将固定的对称轴改为移动的对称轴)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，其图象的对称轴为直线x＝－32∈[－2，3]，所以f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－214，f(x)max＝f(3)＝15，所以值域为－214，15.(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2a－12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－121，即a－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知a＝－13或a＝－1.归纳升华1．探求二次函数在给定闭区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．2．要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．类型4函数最值的应用[典例4]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？求最小值．解：(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)令t＝3x＋5，由0≤x≤10，得5≤t≤35，从而有函数h(t)＝800t＋2t－10(5≤t≤35)．令5≤t1＜t2≤35，有h(t1)－h(t2)＝(t1－t2)2－800t1t2，当5≤t1＜t2≤20时，h(t1)－h(t2)＝(t1－t2)2－800t1t2＞0，当20≤t1＜t2≤35时，h(t1)－h(t2)＝(t1－t2)2－800t1t2＜0.所以h(t)＝800t＋2t－10(5≤t≤35)在区间[5，20]上单调递减，在区间[20，35]上单调递增，所以t＝20时，h(t)min＝70，即t＝3x＋5＝20，x＝5时，f(x)min＝70.所以当隔热层建造5cm厚时，总费用最小，为70万元．归纳升华解实际应用题的步骤1．审题：审读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．2．建模：建立数学模型，列出函数关系式．3．求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)．4．回归：数学问题回归实际问题，写出答案．[变式训练]某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的解析式．(2)设公司获得的利润为S元(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝成本单价×销售量)．①试用销售单价x表示利润S.②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？解：(1)由图象知，当x＝60时，y＝40；当x＝70时，y＝30.代入y＝kx＋b中，得40＝60k＋b，30＝70k＋b，解得k＝－1，b＝100.所以y＝－x＋100(50≤x≤80)．(2)①由题意可知：S＝xy－50y＝x(－x＋100)－50(－x＋100)＝－x2＋150x－5000＝－(x－75)2＋625(50≤x≤80)．②由①知当x＝75时，利润S取得最大值625，所以当销售单价为75元/件时，可获得最大利润625元，此时销售量为25件．1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有f(x)≤M，M不一定是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能只有“存在x0∈I，使得f(x0)＝M”．2．函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系：(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函