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数学必修①·人教A版第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•某人到一个水果店去买西瓜,价格表上写的是:6斤以下,每斤0.4元,6斤以上9斤以下,每斤0.5元;9斤以上,每斤0.6元.此人挑了一个西瓜,称重后店主说5元1角,1角就不要了,给5元吧.可这位聪明的顾客马上说,你不仅没少要,反而多收了我的钱.当顾客讲出理由,店主只好承认了错误,照实收了钱.同学们,你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗?•1.函数的概念定义设A、B是非空的________,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的________________,在集合B中都有____________的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域______的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.数集任意一个数x唯一确定x•[知识点拨](1)对数集的要求:集合A、B为非空数集.•(2)任意性和唯一性:集合A中的数具有任意性,集合B中的数具有唯一性.•(3)对符号“f”的认识:它表示对应关系,在不同的函数中f的具体含义不一样.•(4)一个区别:f(x)是一个符号,不表示f与x的乘积,而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值.•(5)函数三要素:定义域、对应关系和值域是函数的三要素,三者缺一不可.•2.区间及有关概念•(1)一般区间的表示.•设a,b∈R,且ab,规定如下:定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间______________{x|a<x<b}开区间____________{x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b][a,b](a,b)•(2)特殊区间的表示.•[知识点拨](1)关注实心点、空心圈:用数轴表示区间时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心圈表示不包括在区间内的端点.•(2)区分开和闭:在用区间表示集合时,开和闭不能混淆.•(3)正确理解“∞”:“∞”是一个趋向符号,不是一个数,它表示数的变化趋势.以“-∞”和“+∞”为区间的一端时,这一端点必须用小括号.定义R{x|x≥a}{x|xa}{x|x≤a}{x|xa}符号(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)•1.(2019·山东莒县一中高一期末测试)下列四个图形中,是函数图象的为()DA.③④B.①C.①②③D.①③④•[解析]由函数定义可知,对定义域内的任意一个自变量x的值,都有唯一的函数值y与其对应,图①③④满足函数的定义,故选D.•2.区间[5,8)表示的集合是()•A.{x|x≤5或x8}B.{x|5x≤8}•C.{x|5≤x8}D.{x|5≤x≤8}•[解析]区间[5,8)表示的集合是{x|5≤x8},故选C.•3.已知f(x)=2x+1,则f(5)=()•A.3B.7•C.11D.25•[解析]f(5)=2×5+1=11,故选C.CC4.(2019·江苏,4)函数y=7+6x-x2的定义域是______________.[解析]要使函数y=7+6x-x2有意义,应满足7+6x-x2≥0,∴x2-6x-7≤0,∴(x-7)(x+1)≤0,∴-1≤x≤7,∴函数y=7+6x-x2的定义域是[-1,7].[-1,7]5.已知f(x)=11+x,g(x)=x2+2.(1)求f(2),g(2)的值;(2)求f[g(2)]的值;(3)求f[g(x)]的解析式.[解析](1)f(2)=11+2=13,g(2)=22+2=6.(2)f[g(2)]=11+g2=11+6=17.(3)f[g(x)]=11+gx=11+x2+2=1x2+3.互动探究学案命题方向1⇨函数概念的理解典例1(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A.A∈R,B∈R,x2+y2=1B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:C.A=R,B=R,f:x→y=1x-2D.A=Z,B=Z,f:x→y=2x-1B•(2)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是()•[思路分析](1)如何利用函数定义.对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断.•(2)当对应关系用图象表示时,怎样判断是否为函数关系.C[解析](1)对于A项,x2+y2=1可化为y=±1-x2,显然对任x∈A,y值不唯一,故不符合.对于B项,符合函数的定义.对于C项,2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.对于D项,-1∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.(2)由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中图象不表示y是x的函数.•『规律方法』1.判断一个对应关系是否是函数,要从以下三个方面去判断,即A,B必须是非空数集;A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.•2.函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.〔跟踪练习1〕下列对应是否为A到B的函数:(1)A=R,B={x|x0},f:x→y=|x|;(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2;(3)A=Z,B=Z,f:x→y=x;(4)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0.•[解析](1)A中的元素0在B中没有对应元素,故不是A到B的函数;•(2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2,在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应,故是集合A到集合B的函数;•(3)A中元素负整数没有平方根,故在B中没有对应的元素,故此对应不是A到B的函数;•(4)对于集合A中一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数.求下列函数的定义域:(1)y=x+20|x|-x;(2)f(x)=x2-1x-1-4-x.命题方向2⇨求函数的定义域典例2[思路分析]观察函数解析式的特点→列不等式组→求自变量的取值范围[解析](1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足x+2≠0|x|-x≠0,即x≠-2|x|≠x,解得x0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足4-x≥0x-1≠0,即x≤4x≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].•『规律方法』求函数的定义域:•(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0要求x≠0.•(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.•(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.〔跟踪练习2〕(2019·吉林乾安七中高一期末测试)函数y=1x+1的定义域是()A.[-1,+∞)B.[-1,0]C.(-1,+∞)D.(-1,0)C[解析]要使函数y=1x+1有意义,应满足x+10,∴x-1,∴函数y=1x+1的定义域为(-1,+∞).(2019·安徽合肥高一期末测试)已知f(x)=x1+x,x∈R.(1)求f(2),f(12),f(3),f(13)的值;(2)求f(2)+f(3)+…+f(2018)+f(12)+f(13)+…+f(12018)的值.命题方向3⇨求函数值典例3[思路分析](1)将x=2,12,3,13代入f(x)=x1+x计算即可;(2)由(1)中求得f(2),f(12),f(3),f(13)的值可得f(2)+f(12)与f(3)+f(13)的值是定值这一规律,再求得f(2)+f(3)+…+f(2018)+f(12)+f(13)+…+f(12018)的值.[解析](1)∵f(x)=x1+x,∴f(2)=21+2=23,f(12)=121+12=13,f(3)=31+3=34,f(13)=131+13=14.(2)由(1)知,f(2)+f(12)=1,f(3)+f(13)=1.∴f(a)+f(1a)=a1+a+1a1+1a=a1+a+1a·a1+a=a1+a+11+a=1,∴f(2)+f(3)+…+f(2018)+f(12)+f(13)+…+f(12018)=f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2018)+f(12018)=2017.•『规律方法』解题时要注意审题,观察分析、发现规律.〔跟踪练习3〕已知函数f(x)=x2-1x2+1,则f(1)+f2f12+…+f10f110=_______.-9[解析]fxf1x=x2-1x2+11x2-11x2+1=x2-1x2+11-x21+x2=-1,∴f2f12=f3f13=…=f10f110=-1,又∵f(1)=0,∴f(1)+f2f12+…+f10f110=-9.求函数y=x-2·x+2的定义域.求函数定义域时非等价化简解析式而致误典例4[错解]y=x-2·x+2=x2-4,由x2-4≥0,得x≥2或x≤-2.∴函数的定义域为{x|x≥2或x≤-2}.[错因分析]事实上,函数y=x-2·x+2与y=x2-4并不表示同一个函数,求函数定义域应根据原始条件的制约.[正解]由x-2≥0x+2≥0,得x≥2x≥-2.即x≥2.∴函数的定义域为{x|x≥2}.1.分离常数法求函数y=3x+2x-2的值域.求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用典例5[思路分析]这种求函数值域的问题,我们常把它们化为y=a+cx+b的形式再求函数的值域.[解析]∵y=3x+2x-2=3x-6+8x-2=3+8x-2,又∵8x-2≠0,∴y≠3.∴函数y=3x+2x-2的值域是{y|y∈R,且y≠3}.『规律方法』求y=ax+cx+b这种类型的函数的值域,应采用分离常数法,将函数化为y=a+c-abx+b的形式.•2.配方法•求函数y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2)的值域.•[思路分析]这种题型,我们常利用配方法把它们化成y=a(x+b)2+c的形式来求函数的值域.•[解析]∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,x∈[-5,-2],•∴其图象是开口向下,顶点为(-1,4),在x∈[-5,-2]上对应的抛物线上的一段弧.•根据x∈[-5,-2]时的抛物线上升,则当x=-5时,y取最小值,且ymin=-12;当x=-2时,y取最大值,且ymax=3.•故y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2)的值域是[-12,3].典例6『规律方法』遇到求解一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域时,应采用配方法,将函数化为y=a(x+b2a)2+4ac-b24a的形式,从而求得函数的值域.典例73.换元法求函数y=x+2x-1的值域.[思路分析]忽略常数系数,则x与2x-1隐含二次关系,若令2x-1=t,则x=12(t2+1),于是函数转化为以t为自变量的二次函数,由于原函数的定义域由2x-1有意义确定,故t的允许取值范围就是2x-1的取值范围.[解析]设u=2x-1(x≥12),则x=1+u22(u≥0),于是y=1+u22+u=u+122(u≥0).由u≥0知(u+1)2≥1,则y≥12.故函数y=x+2x-1的值域为[12,+∞).•『规律方法』求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域,直接求解很困难,既费时又费力,所以遇到这样的问题,我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子.值得注意的是,在代换过程中,要注意新变量的取值范围.•1.下列表格中的x与y
本文标题:2019秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念课件 新人教A版必修1
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