2019秋高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.3 四种命题间的相互关系课件 新人教A版选修2-1

第一章常用逻辑用语1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系[学习目标]1.结合命题真假的判定，考查四种命题的结构(重点、难点)．2.对条件式的结论进行否定(易错点)．【知识提炼·梳理】1．四种命题一般地，设“若p，则q”为原命题，那么“若q，则p”就叫作原命题的逆命题；“若¬p，则¬q”就叫作原命题的否命题；“若¬q，则¬p”就叫作原命题的逆否命题．2．四种命题之间的关系3．四种命题的真假关系四种命题的真假性关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[思考尝试·夯基]1．已知命题p：垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α，q是p的否命题，下面结论正确的是()A．p真，q真B．p假，q假C．p真，q假D．p假，q真解析：当平面α内的直线相互平行时，l不一定垂直于平面α.故p为假命题．易知p的否命题q：若直线l不垂直于平面α内无数条直线，则l不垂直于平面α.易知q为真命题.答案：D2．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉BB．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉AD．若b∉B，则a∉A答案：B3．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()A．若A∪B＝B，则A∩B＝AB．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠AD．若A∪B≠B，则A∩B＝A答案：C4．给出以下命题：①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________(填序号)．答案：③5．“若sinα＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________”，逆否命题是_______命题(填“真”或“假”)．答案：若α≠π6，则sinα≠12假类型1四种命题的概念(自主研析)[典例1]分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)若b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实根；(2)矩形的对角线相等；(3)已知c＞0，若a＞b，则ac＞bc.解：(1)逆命题：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实根，则b2－4ac＝0.(真命题)否命题：若b2－4ac≠0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有两个相等的实根．(真命题)逆否命题：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有两个相等的实根，则b2－4ac≠0.(真命题)(2)逆命题：对角线相等的四边形是矩形．(假命题)否命题：若一个四边形不是矩形，则这个四边形的对角线不相等．(假命题)逆否命题：若一个四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形．(真命题)(3)逆命题：已知c＞0，若ac＞bc，则a＞b.(真命题)否命题：已知c＞0，若a≤b，则ac≤bc.(真命题)逆否命题：已知c＞0，若ac≤bc，则a≤b.(真命题)归纳升华1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论，若原命题不是“若p，则q”的形式，则更要找准条件和结论．若原命题有大前提，则写其他三种命题时，大前提不变．2．原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假，故四个命题的真假只需选择其中的两个判断即可．3．否命题是条件和结论都要否定．[变式训练]写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)若m·n0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；(4)在△ABC中，若ab，则∠A∠B.解：(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n0，假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．否命题：若m0且n0，则m＋n0，真命题．逆否命题：若m＋n0，则m0且n0，假命题．(4)逆命题：在△ABC中，若∠A∠B，则ab，真命题．否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题．逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．类型2四种命题的关系[典例2]下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2bc2，则ab”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2bc2，则ab”的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.答案：①②③归纳升华要判断四种命题的真假，首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．[变式训练]有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；③若“x≤－3，则x2－x－6＞0”的否命题；④“菱形的对角线相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案：1类型3逆否命题的应用[典例3]判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a2”的逆否命题的真假．解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－70，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．归纳升华1．在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．2．逆否证法和反证法都是间接证明命题真假的一种方法．虽然它们的出发点相似，但是具体的做法各不相同，特别是反证法，它有着严格的推理模式和具体的方法步骤，而逆否证法则是通过证明原命题的逆否命题的真假来间接证明原命题的真假．[变式训练1]试判断命题“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”的真假．解：该命题的逆否命题为：若x2－3x＋2＝0，则x＝1且x＝2.显然这是一个假命题，故原命题也是一个假命题．[变式训练2]证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.证明：设原命题为：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.其逆否命题为：若p＋q2，则p2＋q2≠2.若p＋q2，则p2＋q2＝12[(p－q)2＋(p＋q)2]≥12(p＋q)212×22＝2，即p2＋q22，所以“若p＋q2，则p2＋q2≠2”为真命题．所以原命题为真命题，即若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)先把命题写成“若p，则q”的形式；(2)先写出条件p的否定¬p，再写结论q的否定¬q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．3．一个命题的真假难以判断时，可尝试判断其逆否命题的真假.