2019秋高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.1 不等式的基本性质课件 新人教A版选修4

第一讲不等式和绝对值不等式1．1不等式1．1.1不等式的基本性质[学习目标]1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式(重点、难点)．1．实数的运算性质与大小顺序的关系数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0．温馨提示要比较两个实数的大小，只需考查它们的差的符号．2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.(2)传递性：如果a＞b，且b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)加法：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，即a＞b⇒a＋c＞b＋c.①(移项法则)如果a＋b＞c，那么a＞c－b.②(同向可加性)如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.(4)乘法：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.推论：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．(6)开方：如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．温馨提示要注意不等式的性质是否可逆；要注意不等式成立的条件．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若a＞b，则ac＜bc.()(2)若ac2＞bc2，则a＞b.()(3)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2.()(4)若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.()解析：(1)未知c是正数、负数还是零，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故该命题是假命题；(2)由ac2＞bc2知c≠0，故c2＞0，所以a＞b，故该命题是真命题；(3)a＜b＜0a＜0⇒a2＞ab，a＜bb＜0⇒ab＞b2，所以a2＞ab＞b2.故该命题为真命题；(4)a＞b⇒a－b＞0，1a＞1b⇒1a－1b＞0⇒b－aab＞0.因为a－b＞0，所以b－a＜0.所以ab＜0.又a＞b，所以a＞0，b＜0.故该命题为真命题．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是()A．P在Q的左边B．P在Q的右边C．P，Q两点重合D．不能确定解析：因为x＜y＜0，所以|x|＞|y|＞0.故P在Q的右边．答案：B3．若ab，则下列各式正确的是()A．a·lgxb·lgxB．ax2bx2C．a2b2D．a·2xb·2x解析：由ab，当lgx≤0时，a·lgxb·lgx不成立，故A错误．当x＝0时，ax2＝bx2，故B错误．若a＝0，b＝－1，则a2b2，故C错误．因为2x0，所以a·2xb·2x，故D正确．答案：D4．与a＞b等价的不等式是()A．|a|＞|b|B．a2＞b2C.ab＞1D．a3＞b3解析：当b＜a＜0时，|a|＜|b|，a2＜b2，ab＜1，故A、B、C不成立．由f(x)＝x3在R上单调递增及a＞b可知f(a)＞f(b)，即a3＞b3.所以a3＞b3与a＞b等价．答案：D5．比较大小：(x＋5)(x＋7)________(x＋6)2(填“”“”“＝”)．解析：因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－x2－12x－36＝－10，所以(x＋5)(x＋7)(x＋6)2.答案：类型1实数大小的比较(自主研析)[典例1]已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34.因为x＞1，所以x－1＞0.又因为x－122＋34＞0，所以(x－1)x－122＋34＞0，所以x3－1＞2x2－2x.归纳升华比较两个实数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是通分、因式分解、配方等．[变式训练]已知x，y均为正数，设m＝1x＋1y，n＝4x＋y，试比较m和n的大小．解：m－n＝1x＋1y－4x＋y＝x＋yxy－4x＋y＝（x＋y）2－4xyxy（x＋y）＝（x－y）2xy（x＋y），因为x，y均为正数，所以x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0.所以m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立).类型2利用不等式的性质判断命题的真假[典例2]下列命题正确的是()①若a＞b，且1a＜1b，则ab＞0；②若a＞b，且ac＜bc，则c＞0；③若a＞b＞0，且ca＜cb，则c＞0；④若a＜b＜0，则ab＜b2.A．①②B．②③C．③④D．①③解析：①中，因为a＞b，所以a－b＞0.又因为1a＜1b，所以1b－1a＝a－bab＞0.所以ab＞0，故①正确．②中，因为ac＜bc，所以c(a－b)＜0.又因为a＞b，所以a－b＞0.所以c＜0，故②不正确．③因为ca＜cb，所以ca－cb＜0，即c（b－a）ab＜0.因为a＞b＞0，所以ab＞0，b－a＜0.所以c＞0.故③正确．④因为a＜b＜0，b＜0，所以ab＞b2，故④不正确．答案：D归纳升华1．利用不等式的性质判断命题真假的技巧．(1)要判断一个命题为真命题，必须严格证明；(2)要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．其中，举反例是一种行之有效的方法．2．运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项．(1)倒数法则要求两数同号；(2)两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；(3)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．[变式训练]判断下列命题的真假．(1)若a＜b＜0，则1a＞1b；(2)若|a|＞b，则a2＞b2；(3)若a＞b＞c，则a|c|＞b|c|.解：(1)因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以1ab＞0.所以a·1ab＜b·1ab，所以1b＜1a.所以(1)是真命题．(2)因为|a|＞b，取a＝1，b＝－3，但a2＜b2，所以(2)是假命题．(3)取a＞b＞0，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，所以(3)是假命题．类型3求代数式的取值范围[典例3]已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．解：因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π2≤α＜π2，①－π2＜β≤π2，②α＜β.③由①＋②得－π＜α＋β＜π，所以－π2＜ɑ＋β2＜π2.由②得－π2≤－β＜π2，④由①＋④得－π≤α－β＜π.又α＜β，知α－β＜0，所以－π≤α－β＜0，所以－π2≤ɑ－β2＜0.归纳升华1．求含有字母的数(或代数式)的取值范围，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．例如，若忽视ɑ＜β，则会导致ɑ－β2的取值范围变大．2．利用不等式的基本性质求解，在变换过程中要注意熟练掌握、准确使用不等式的基本性质．[变式训练]若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．解：法一因为f(x)过原点，所以可设f(x)＝ax2＋bx.所以f（1）＝a＋b，f（－1）＝a－b.所以a＝12[f（1）＋f（－1）]，b＝12[f（1）－f（－1）].所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．因为1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4.所以6≤f(－2)≤10.法二因为f(x)过原点，所以可设f(x)＝ax2＋bx，则f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b.令m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，所以m＋n＝4，m－n＝－2.所以m＝1，n＝3.所以f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．因为1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，所以6≤f(－2)≤10.类型4证明简单的不等式[典例❹]已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：ba－c＜ab－d.证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.又a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0，所以0＜1a－c＜1b－d.又0＜b＜a，所以ba－c＜ab－d.[迁移探究]若本例条件不变，求证：3ad＜3bc.证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以0＜1－c＜1－d.又因为ab0，所以a－d＞b－c＞0，所以3a－d＞3b－c，即－3ad＞－3bc，所以3ad＜3bc.归纳升华1．注意不等式的三个性质的运用．一是不等式的乘法性质：a＞b，则－a＜－b；二是不等式的加法性质：c＞a＞b＞0，又－a＜－b，则0＜c－a＜c－b；三是倒数性质．2．进行简单不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．[变式训练]已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.证明：因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，则－ac＜－bc，又e＞f，所以f－ac＜e－bc.1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示．不等关系可通过不等式来体现，离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质成立的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、很显然的理由代替不等式的性质．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形方法，如：因式分解、配方法等．