2019秋高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法课件 新人教A版选修4-5

第四讲数学归纳法证明不等式4．1数学归纳法[学习目标]1.了解数学归纳法的原理(难点)．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题(重点、难点)．1．数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．2．数学归纳法的使用范围数学归纳法可以证明与正整数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明．温馨提示用数学归纳法证明，关键在于两个步骤要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．”1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√解析：(1)当n＝1时，恒为1＋k，故(1)不正确．(2)当n＝1时，恒为1，故(2)不正确．(3)当n＝1时恒为1＋12＋13，故(3)正确．(4)f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1，故(4)错误．答案：(1)×(2)×(3)√(3)×2．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是()A．k∈NB．k＞1，k∈N＋C．k≥1，k∈N＋D．k＞2，k∈N＋解析：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.答案：C3．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成()A．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)B．6k(k＋1)(2k＋1)C．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2D．以上都不对解析：n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)]＝k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2，选C.答案：C4．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()A．n＝1成立B．n＝2成立C．n＝3成立D．n＝4成立答案：C5．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立．解析：两个奇数之间相差2.答案：k＋2类型1用数学归纳法证明恒等式(自主研析)[典例1]用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．归纳升华利用数学归纳法证明恒等式的注意点利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表达n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．[变式训练]用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n≥1，n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2，即当n＝k＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切n≥1，n∈N＋均成立．类型2用数学归纳法证明整除问题[典例❷]求证：x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．因为x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，所以x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立．归纳升华用数学归纳法证明整除问题的关键点(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其关键是从n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式．[变式训练]求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，36能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立．类型3利用数学归纳法证明几何问题[典例3]平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2(n∈N*)个部分．证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，即k个圆将平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以当n＝k＋1时命题成立．综上(1)(2)可知，对一切n∈N*命题成立．归纳升华利用数学归纳法证明几何问题的技巧1.几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由n＝1，2，3，…的特殊情形，猜出一般结论．2.数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系．3.利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明．[变式训练]求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)＝12n(n－3)．证明：(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，12×4×(4－3)＝2，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有f(k)＝12k(k－3)个，现在考虑n＝k＋1的情形，第k＋1条棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的k－2条棱分别增加了1个对角面共k－2个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面的个数变为f(k)＋(k－2)＋1＝12k·(k－3)＋k－1＝12(k2－3k＋2k－2)＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]即f(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]成立．由(1)(2)可知，命题对n≥4，n∈N*都成立．类型4用数学归纳法解决探究问题[典例4]设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由已知得S1＝a1＝2a2－3－4，S2＝a1＋a2＝4a3－12－8，S3＝a1＋a2＋a3＝15，解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)猜测an＝2n＋1.由Sn＝2nan＋1－3n2－4n得Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)(n≥2)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以两式相减，整理得an＝2nan＋1－2(n－1)an－6n－1，an＋1＝2n－12nan＋6n＋12n，建立an与an＋1的递推关系(n∈N*)；因为当n＝1时，a1＝3，假设ak＝2k＋1成立，那么n＝k＋1时，ak＋1＝2k－12kak＋6k＋12k＝2k－12k(2k＋1)＋6k＋12k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，对于n∈N*，有an＝2n＋1.数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.归纳升华1．解“归纳—猜想—证明”题的关键环节有：(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础；(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论；(3)对一般结论用数学归纳法进行证明．2．求解“归纳—猜想—证明”型数列问题的关键是利用递推关系式，准确求出数列的前n项，通过分析归纳，猜想出其通项公式，然后用数学归纳法证明，这是一种解决数列通项公式的重要方法．[变式训练]已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)由题意Sn＋an＝2，所以a1＝1，a2＝12，a3＝14.(2)猜想an＝12n－1，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，12n－1＝120＝1，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即ak＝12k－1，因为Sk＋1＝2－ak＋1，Sk＋1－Sk＝ak＋1，Sk＝2－ak，所以ak＋1＝12ak＝12k，即当n＝k＋1时，等式成立．根据①②可知，对一切n∈N*，an＝12n－1.1．数学归纳法中的两步的作用．在数学归纳法中第一步“验证n＝n0时命题成立”是奠基，是推理证明的基础，第二步是假设与递推，保证了推理的延续性．2．运用数学归纳法的关键．运用归纳假设是关键，在使用归纳假设时，应分析p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，从p(k＋1)中分离出p(k)再进行局部调整．3．判断利用数学归纳法证明问题是否正确．(1)是要看有无归纳基础．(2)是证明当n＝k＋1时是否应用了归纳假设．