2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平

第三章空间向量与立体几何3．2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系[学习目标]1.求直线的方向向量、平面的法向量(重点)．2.用方向向量、法向量处理线线、线面、面面间的平行关系(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．温馨提示对直线方向向量的两点说明1．方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量PQ→.2．方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫作平面α的法向量．温馨提示对平面法向量的两点说明1．平面法向量的选取：平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量．2．平面法向量的不唯一性：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．3．空间平行关系的向量表示(1)线线平行．设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行．设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(3)面面平行．设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．[思考尝试·夯基]1．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量n＝(2，－1，2)，则下列点中在平面α内的是()A．(－4，4，0)B．(2，0，1)C．(2，3，3)D．(3，－3，4)答案：C2．两条不同直线l1，l2的方向向量分别是a＝(－2，1，1)，b＝(6，－3，－3)，则()A．l1∥l2B．l1和l2相交，但不垂直C．l1⊥l2D．不能确定解析：因为a＝(－2，1，1)，b＝(6，－3，－3)，所以b＝－3a，所以a∥b，所以l1∥l2.答案：A3．平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于()A．2B．0C．1D．无意义答案：C4．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则直线l与平面α的位置关系为________．解析：因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，所以n＝－2a，即a∥n，所以l⊥平面α.答案：垂直5．已知平面α和平面β有公共的法向量n＝(1，－1，1)，则平面α，β的位置关系为________．解析：由题意知，平面α，β都与向量n＝(1，－1，1)垂直，所以α∥β.答案：α∥β类型1利用方向向量和法向量判定线面位置关系(自主研析)[典例1](1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：①a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)；②a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)．(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系；①u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12；②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断平面α与l的位置关系：①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)；②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．解：(1)①因为a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)，所以a＝－2b，所以a∥b，所以l1∥l2.②因为a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2.(2)①因为u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12，所以u·v＝－3＋2＋1＝0，所以u⊥v，所以α⊥β.②因为u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)，所以u＝－32v，所以u∥v，所以α∥β.(3)①因为u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)，所以u·a＝－12－4＋16＝0，所以u⊥a，所以l⊂α或l∥α.②因为u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．归纳升华利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练地判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．[变式训练]根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系．(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)．解：(1)因为a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，所以a·b＝8－6－2＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2.(2)因为u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)，所以v＝－3u，所以u∥v，所以α∥β.(3)因为a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)，所以a和u既不共线，也不垂直，所以l与α斜交．类型2求平面的法向量[典例2]如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面SCD与平面SAB的法向量．解：因为AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，所以以A为原点，以AD→、AB→、AS→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，D12，0，0，C(1，1，0)，S(0，0，1)，AD→＝12，0，0是平面SAB的法向量，设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，则n·DC→＝(1，λ，u)·12，1，0＝12＋λ＝0，所以λ＝－12.n·DS→＝(1，λ，u)·－12，0，1＝－12＋u＝0，所以u＝12，所以n＝1，－12，12.综上，所以平面SAB的法向量为AD→＝12，0，0，平面SCD的法向量为n＝1，－12，12.归纳升华平面法向量的求法1．当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量．2．当已知平面α内两不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)时，常用特定系数法求法向量：设法向量n＝(x，y，z)，由a·n＝0，b·n＝0，得a1x＋a2y＋a3z＝0，b1x＋b2y＋b3z＝0.在上述方程组中，对x，y，z中的任一个赋值，求出另两个，所得n即为平面的法向量．3．平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可．构造方程组时，注意所选平面内的两向量不共线，赋值时保证所求法向量非零．[变式训练]如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图所示，以A为坐标原点，AB→的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，3，0)，E0，32，12，B(1，0，0)，C(1，3，0)，于是AE→＝0，32，12.AC→＝(1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n·AC→＝0，n·AE→＝0，即x＋3y＝0，32y＋12z＝0，所以x＝－3y，z＝－3y，令y＝－1，则x＝z＝3.所以平面ACE的一个法向量为n＝(3，－1，3)．[典例3]如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明：EF∥平面SAD.证明：建立如图所示的空间直角坐标系．设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，F0，a2，b2，EF→＝－a，0，b2.取SD的中点G0，0，b2，连接AG，则AG→＝－a，0，b2.因为EF→＝AG→，所以EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD.归纳升华1．用向量证明线面平行的方法．(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直．(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．2．向量法证明面面平行的方法．设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．[变式训练]如图，四边形ABEF与ABCD是两个全等的正方形，且平面ABEF与平面ABCD互相垂直，M，N分别是AC与BF上的点，且CM＝BN.求证：MN∥平面CBE.证明：设正方形的边长为1.设CM→＝λCA→，则BN→＝λBF→.取向量{BA→，BE→，BC→}为基底，记为{a，b，c}．则|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝b·c＝c·a＝0.所以MN→＝MC→＋CB→＋BN→＝－λCA→＋CB→＋λBF→＝－λ(a－c)－c＋λ(a＋b)＝λb＋(λ－1)c，所以MN→·BA→＝[λb＋(λ－1)c]·a＝λ(b·a)＋(λ－1)(c·a)＝λ×0＋(λ－1)×0＝0.所以MN→⊥BA→，即MN⊥AB.法一又AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，所以AB⊥平面CBE.又MN⊄平面CBE，所以MN∥平面CBE.法二MN→＝λb＋(λ－1)c＝λBE→＋(λ－1)BC→，所以MN→与平面CBE共面．又MN⊄平面CBE，所以MN∥平面CBE.1．利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．利用空间向量证明线面平行一般有三种方法．方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．3．解题中的两个关键：一是要搞清直线的方向向量、平面法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系，二是要熟练掌握判断两向量共线、垂直等的充要条件.