2019秋高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1

数学必修①·人教A版第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件．于是商场经理决定每件衬衫降价15元．那么经理的决定正确吗？这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决．•函数模型的应用•(1)用已知的函数模型刻画实际问题；•(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其基本过程如图所示．•[知识点拨]巧记函数建模过程；•收集数据，画图提出假设；•依托图表，理顺数量关系；•抓住关键，建立函数模型；•精确计算，求解数学问题；•回到实际，检验问题结果．•1．拟定从甲地到乙地通话mmin的电话费f(m)＝1.06·(0.50[m]＋1)，其中m0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5min的通话费为()•A．3.71B．3.97•C．4.24D．4.77•[解析]5.5min的通话费为f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.C•2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()•A．甲比乙先出发•B．乙比甲跑的路程多•C．甲、乙两人的速度相同•D．甲先到达终点•[解析]甲、乙两人所行路程s完全一致，即为坐标系中的s轴上的s0，显然甲用时少．D•3．以每秒am的速度从地面垂直向上发射子弹，ts后的高度xm可由x＝at－4.9t2确定，已知5s后子弹高245m，子弹保持245m以上(含245m)高度的时间为()•A．4sB．5s•C．6sD．7s•[解析]已知x＝at－4.9t2，由条件t＝5时，x＝245，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2，子弹保持在245m以上(含245m)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245m以上高度的时间为5s.B4．已知大气压p(百帕)与海拔高度h(m)的关系式为p＝1000·(7100)h3000，则海拔6000m处的大气压为________百帕．4.9[解析]当h＝6000m时，p＝1000·(7100)60003000＝4.9(百帕)．•5．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．•(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；•(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？[解析](1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝15，k2＝12.∴y1＝15x＋29，y2＝12x.(2)令y1＝y2，即15x＋29＝12x，则x＝9623.当x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x9623时，y1y2，即“便民卡”便宜；当x9623时，y1y2，即“如意卡”便宜．互动探究学案命题方向1⇨一次函数与分段函数模型问题•WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min)，按30元计费；超过500min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费，在1min以上(包括1min)按0.5元/min计费．WAP手机上网不收通话费和漫游费．•(1)写出上网时间x(min)与所付费用y(元)之间的函数关系式；•(2)12月份小王WAP上网使用量为20h，要付多少钱？•(3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？典例1•[思路分析]由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上网时间的问题．[解析](1)设上网时间为xmin，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为y＝00x10.5x1≤x603060≤x≤50030＋0.15x－500x500.•(2)当x＝20×60＝1200(min)时，x500，应付y＝30＋0.15×(1200－500)＝135(元)．•(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500min，∴30＋0.15(x－500)＝90，解得x＝900.•∴小王10月份上网时间为900min.•『规律方法』1.解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．•2．在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个．•〔跟踪练习1〕•某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418•(1)根据图象提供的信息，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；•(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；•(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？[解析](1)设表示前20天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P＝k1t＋m，由图象得2＝k1×0＋m6＝k1×20＋m，解得k1＝15m＝2.即P＝15t＋2；设表示第20天至第30天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P＝k2t＋n，由图象得6＝k2×20＋n5＝k2×30＋n，解得k2＝－110n＝8.即P＝－110t＋8.综上知P＝15t＋20≤t＜20－110t＋820≤t≤30(t∈N)．(2)设日交易量Q与时间t满足一次函数关系式Q＝at＋b(a、b为常数)，将(4,36)与(10,30)代入，得4a＋b＝3610a＋b＝30，解得a＝－1b＝40.所以日交易量Q(万股)关于时间t(天)的一次函数关系式为Q＝40－t(0≤t≤30，且t∈N)．(3)由(1)(2)可得y＝15t＋2×40－t0≤t＜20－110t＋8×40－t20≤t≤30(t∈N)．即y＝－15t2＋6t＋800≤t＜20110t2－12t＋32020≤t≤30(t∈N)．当0≤t＜20时，函数y＝－15t2＋6t＋80的图象的对称轴为直线t＝15，∴当t＝15时，ymax＝125；当20≤t≤30时，函数y＝110t2－12t＋320的图象的对称轴为直线t＝60，∴该函数在[20,30]上单调递减，即当t＝20时，ymax＝120.而125＞120，∴第15天日交易额最大，最大值为125万元．命题方向2⇨二次函数模型问题•某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．•(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；•(2)求该批发商平均每天的销售利润ω(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；•(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？典例2•[思路分析]本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润ω(元)与销售单位x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．•[解析](1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，•化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．•(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．•所以ω＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．•(3)因为ω＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以当x60时，ω随x的增大而增大．•又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，ω有最大值，最大值为1125.•∴当每箱苹果售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元．•『规律方法』1.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．•2．对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．•〔跟踪练习2〕•(2019·江苏苏州高一期中测试)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．•(1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)•(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？•(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？[解析](1)由题意，得y＝(2400－2000－x)(8＋4×x50)＝(400－x)(8＋2x25)＝－x225＋24x＋3200.(2)由题意，得－225x2＋24x＋3200＝4800，整理，得x2－300x＋20000＝0，解得x＝100或x＝200.要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价200元．(3)y＝－225x2＋24x＋3200＝－225(x2－300x)＋3200＝－225[(x－150)2－22500]＋3200＝－225(x－150)2＋5000∴当x＝150时，ymax＝5000，∴每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最高，最高利润是5000元．命题方向3⇨指数型、对数型函数模型应用问题•医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表.典例3天数病毒细胞个数112234516632•已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.•(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(答案精确到天，lg2＝0.3010)?•(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(只列出相关的关系式即可，不要求求解)?•[解析](1)由题意知，病毒细胞个数y关于天数t的函数关系式为y＝2t－1(t∈N＋)．•则由2t－1≤108两边取常用对数，得(t－1)lg2≤8，解得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．•(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，•再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.•由题意，得关系式226×2%×2x≤108.•『规律方法』指数函数的应用型问题已经进入各级各类考试中，一般地，在读懂题意的基础上，提炼指数函数模型，在解决实际问题中，涉及运算问题常转化为对数运算问题，要求同学们有一定的运算能力．〔跟踪练习3〕某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂