2019秋高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用课件 新人教A版必

第三章不等式第2课时基本不等式的应用[学习目标]1.进一步掌握基本不等式ab≤a＋b2.2.会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一些简单的实际问题．(重点)3.能运用基本不等式解决生活中的应用问题．(难点)[知识提炼·梳理]1．理论依据(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s24.(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x十y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．()(2)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值．()(3)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.()(4)函数f(x)＝x2＋2x2＋1的最小值为22－1.()解析：(1)正确．当a，b∈R时，若a与b的和为定值，ab≤a＋b22，所以ab有最大值．(2)错误．不一定，应用不等式求最值时还要求等号能取到，如：sinx与4sinx，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值．但是由于0sinx≤1知sinx≠2，所以sinx＋4sinx2sinx·4sinx＝4，等号不成立，取不到最小值．(3)错误．当x，y＞0时，x＋y的最小值为4，当x，y＜0时，x＋y的最大值为－4.(4)正确．f(x)＝x2＋1＋2x2＋1－1≥2（x2＋1）·2x2＋1－1＝22－1，当且仅当x2＋1＝2x2＋1，即x2＝2－1时等号成立．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(0xπ)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81解析：A中x＝－1时，y＝－54，B中y＝4时，sinx＝2，D中x与1的关系不确定．答案：C3．若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋2B．1＋3C．3D．4解析：f(x)＝x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2（x－2）·1x－2＋2，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝1(舍)或x＝3时，上式取等号，所以a＝3.答案：C4．函数y＝x2－x＋1x－1(x1)在x＝t处取得最小值，则t等于()A．1＋2B．2C．3D．4解析：y＝x（x－1）＋1x－1＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．答案：B5．函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为________．解析：①当x∈(0，2)时，x0，4－2x0，f(x)＝x(4－2x)＝2x(2－x)≤2x＋2－x22＝2，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立．②当x≤0或x≥2时，f(x)≤0.故f(x)max＝2.答案：2类型1利用基本不等式求最值(互动探究)[典例1](1)若x＜1，则y＝x2－2x＋2x－1有()A．最小值2B．最大值2C．最小值－2D．最大值－2(2)若0＜x＜12，则函数y＝12x(1－2x)的最大值是________．解析：(1)因为x＜1，所以x－1＜0，所以y＝x2－2x＋2x－1＝（x－1）2＋1x－1＝x－1＋1x－1≤－2（x－1）·1x－1＝－2，故选D.(2)因为0＜x＜12，所以1－2x＞0，所以y＝12x·(1－2x)＝14×2x·(1－2x)≤142x＋1－2x22＝14×14＝116，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝14时，ymax＝116.答案：(1)D(2)116[迁移探究]若把典例1(1)中的条件“x＜1”改为“x＞1”．其他不变，则结论如何？解：因为x＞1，所以x－1＞0，所以y＝x2－2x＋2x－1＝（x－1）2＋1x－1＝x－1＋1x－1≥2（x－1）·1x－1＝2.归纳升华1．应用基本不等式需注意三个必要条件：即“一正”“二定”“三相等”．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧，因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．2．常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．[变式训练](1)若x0，求f(x)＝12x＋3x的最大值；(2)若x2，求f(x)＝1x－2＋x的最小值；(3)已知0x12，求f(x)＝x(1－2x)的最大值；(4)已知x1，求函数y＝x2＋2x－1的最小值．解：(1)因为x0，所以f(x)＝－－12x＋（－3x）≤－2－12x·（－3x）＝－12，当且仅当－12x＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以f(x)的最大值为－12.(2)因为x2，所以x－20，f(x)＝1x－2＋x－2＋2≥2（x－2）·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立，所以f(x)的最小值为4.(3)因为0x12，所以1－2x0，f(x)＝x(1－2x)＝12·2x(1－2x)≤122x＋（1－2x）22＝18，当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时等号成立，所以f(x)的最大值为18.(4)因为x1，所以x－10.设t＝x－1(t0)，则x＝t＋1，所以y＝x2＋2x－1＝（t＋1）2＋2t＝t＋3t＋2≥2t·3t＋2＝23＋2，当且仅当t＝3t，即t＝3，x＝3＋1时等号成立，所以f(x)的最小值为23＋2.类型2基本不等式的综合应用[典例2](1)(2017·山东卷)若直线xa＋yb＝1(a0，b0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．(2)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则1a＋1b的最小值是________．(3)已知x0，y0，且2x＋8y－xy＝0，求：①xy的最小值；②x＋y的最小值．解析：(1)直线xa＋yb＝1(a0，b0)过点(1，2)，有1a＋2b＝1.则2a＋b＝(2a＋b)1a＋2b＝2＋4ab＋ba＋2≥4＋24ab·ba＝8，当且仅当4ab＝ba，即a＝2，b＝4时，上式等式成立．故(2a＋b)min＝8.(2)1a＋1b＝a＋2ba＋a＋2bb＝3＋2ba＋ab≥3＋22ba·ab＝3＋22.当且仅当2ba＝ab时等号成立，又a＋2b＝1，得a＝2－1，b＝2－22时，1a＋1bmin＝3＋22.答案：(1)8(2)3＋22(3)解：因为x0，y0，2x＋8y－xy＝0，①xy＝2x＋8y≥216xy，所以xy≥8，所以xy≥64.故xy的最小值为64.②由2x＋8y＝xy，得：2y＋8x＝1，所以x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·2y＋8x＝10＋2xy＋8yx≥10＋8＝18.故x＋y的最小值为18.归纳升华利用基本不等式求条件最值的常用方法1．“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值．2．构造法：(1)构造不等式．利用ab≤a＋b22，将式子转化为含ab或a＋b的一元二次不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围．(2)构造定值．结合已知条件将要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值．3．函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，这时可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值．[变式训练](1)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，则x＋y的最小值为________．(2)已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．(3)设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析：(1)因为x0，y0，1x＋9y＝1，所以x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy时，上式等号成立．由1x＋9y＝1，得x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(2)由基本不等式，得x＋2y＝8－x·(2y)≥8－x＋2y22，整理，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.所以(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.又x＋2y0，所以x＋2y≥4.(3)依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋32×2x×y≤1＋32·2x＋y22，得58(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤2105.当且仅当2x＝y＝105时，2x＋y取最大值2105.答案：(1)16(2)4(3)2105类型3利用基本不等式解实际应用题[典例3]要设计一张矩形广告，该广告有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，ab＝9000.①广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a0，b0.广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋225a×40b＝18500＋21000ab＝24500.当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝58a，代入①式得a＝120，从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值，Smin＝24500cm2，故广告的高为140cm，宽为175cm，矩形广告的面积最小，最小值为24500cm2.归纳升华求实际问题中最值的一般思路1．读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．2．把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．3．在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．4．正确写出答案．[变式训练](1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：①仓库面积S的最大允许值是多少？②为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？(1)解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，而x＞0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：58(2)解：①设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3200(x＞0，y＞0)，由基本不等式得3200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S.所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故S≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，②由①知，当40x＝90y时，S取最大值，又xy＝100，所以x＝15，即铁栅的长是15米．1．用基本不等式ab≤a＋b2求最值时的三个要点：(1)