2019秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末复习课课件 新人教A版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．求曲线与方程的两个关注点(1)求曲线的方程与求轨迹是有区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等．(2)由方程研究曲线时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件和限制条件，避免因考虑不全面而致误．2．处理与三种圆锥曲线的方程和性质有关的问题的注意点(1)求圆锥曲线的标准方程时，要先定位，再定量；当焦点位置不能确定时，需分类讨论或者用椭圆、双曲线的一般方程形式解决．(2)在椭圆中，a，b，c的关系是c2＝a2－b2，而在双曲线中，a，b，c的关系是c2＝a2＋b2，两者极易混淆，要注意区分，以防出错．(3)在解与圆锥曲线上点有关的最值问题时，一定不能忽略圆锥曲线的范围．3．直线与圆锥曲线的位置关系问题的关注点(1)在解析几何中，凡是直线与圆锥曲线相交问题先考虑相交的前提，否则易产生错解．(2)直线与双曲线、抛物线相交时，有一个交点或两个交点之分；直线与双曲线、抛物线有一个公共点时，有相交或相切之分；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，有一个公共点.题型一圆锥曲线定义的应用对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用，要注意灵活运用．[典例1]如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示方法进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为B′(注：图中EF为折痕，点F也可落在边CD上)，过点B′作B′T∥CD交EF于点T，求点T的轨迹方程．解：如图，以边AB的中点O为原点，AB边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0，－2)．因为|BT|＝|B′T|，B′T⊥AD，根据抛物线的定义，点T的轨迹是以点B为焦点，AD边所在直线为准线的抛物线的一部分．设点T(x，y)，又|AB|＝4，即定点B到定直线AD的距离为4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.在折叠中，线段AB′的长度|AB′|在区间[0，4]内变化，而x＝|AB′|，所以0≤x≤4.所以点T的轨迹方程为x2＝－8y(0≤x≤4)．[变式训练]若点M(2，1)，点C是椭圆x216＋y27＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，求|AM|＋|AC|的最小值．解：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM|＋|AC|)min＝8－26.题型二求动点的轨迹方程问题求动点的轨迹方程问题主要有以下三种常用的、简单的方法：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．[典例2]已知直线y＝－2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0，2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．解：(1)设点P的坐标(x，y)，则点Q的坐标为(x，－2)．因为OP⊥OQ，所以kOP·kOQ＝－1.当x≠0时，得yx·－2x＝－1，化简得x2＝2y.当x＝0时，P，O，Q三点共线，不符合题意，故x≠0.所以曲线C的方程为x2＝2y(x≠0)．(2)因为直线l2与曲线C相切，所以直线l2的斜率存在．设直线l2的方程为y＝kx＋b，由y＝kx＋b，x2＝2y得x2－2kx－2b＝0.因为直线l2与曲线C相切，所以Δ＝4k2＋8b＝0，即b＝－k22.点(0，2)到直线l2的距离d＝|－2＋b|k2＋1＝12·k2＋4k2＋1＝12k2＋1＋3k2＋1≥12×2k2＋1·3k2＋1＝3.当且仅当k2＋1＝3k2＋1，即k＝±2时，等号成立，此时b＝－1.所以直线l2的方程为2x－y－1＝0或2x＋y＋1＝0.[变式训练]已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，求动点P的轨迹方程．解：由已知得，2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|＝4|F1F2|＝2，则点P在以F1，F2为焦点且长轴长为4的椭圆上，设其轨迹方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，易知2a＝4，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.故点P的轨迹方程为x24＋y23＝1.题型三圆锥曲线中的定点或定值问题对于圆锥曲线中的定点、定值问题，有以下两种求法：(1)从特殊情况入手，先求含变量的定点(定值)，再证明这个点(值)与变量的关系．(2)直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点(定值)．[典例3]已知双曲线M：x2－y2＝1，直线l与双曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y＝x、双曲线M、直线y＝－x于A，B，C，D四个点，O为原点．若|AB|＝|BC|＝|CD|，求证：△AOD的面积为定值．证明：设直线l的方程为y＝kx＋b，将其代入x2－y2＝1得(1－k2)x2－2bkx－b2－1＝0.①显然k≠±1，Δ＝4b2k2＋4(1＋b2)(1－k2)0，b2＋(1－k2)0.设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个根，有x1＋x2＝2bx1－k2，x1x2＝－（1＋b2）1－k2.设点A(x3，y3)，D(x4，y4)，由y＝kx＋b，y＝x得x3＝b1－k.由y＝kx＋b，y＝－x得x4＝－b1＋k.因为|AB|＝|BC|＝|CD|，所以1＋k2|x1－x2|＝131＋k2|x3－x4|.即|x1－x2|＝13|x3－x4|，所以2bk1－k22＋4b2＋41－k2＝132b1－k2.整理得b2＝98(k2－1)．因为b20，所以k21，又因为|OA|＝2b1－k，|OD|＝2b1＋k，∠AOB＝90°，所以S△AOB＝12|OA|·|OD|＝b2|1－k2|＝98(定值)．[变式训练]已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线C上的点(1，m)到F的距离等于2.(1)求抛物线C的方程；(2)若不与x轴垂直的直线l1与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线l2恰好过点M(4，0)，求证：线段AB中点的横坐标为定值．(1)解：由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，其准线方程为x＝－p2.因为点(1，m)到焦点的距离等于该点到抛物线准线的距离，所以1＋p2＝2，所以p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)证明：设线段AB的中点为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线MN的斜率为y0x0－4.因为直线AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为4－x0y0，直线AB的方程为y－y0＝4－x0y0(x－x0)．联立得方程组y－y0＝4－x0y0（x－x0），y2＝4x，消去x，得1－x04y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝4y04－x0.因为N为线段AB的中点，所以y1＋y22＝y0，即2y04－x0＝y0，所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.题型四函数与方程思想方法解题函数与方程思想就是用函数、方程的观点和方法来处理变量与未知数之间的关系，从而解决问题．利用函数思想解题，确立变量之间的函数关系式是关键的一步，可分为以下两种情况：(1)根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；(2)根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题．利用方程思想解题时，往往需要根据一些条件确定某些变量的值，可先列出这些变量所满足的方程(或方程组)，然后通过解方程(或方程组)求出这些变量的值．[典例4]已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．解：(1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.由x2＋3y2＝4，y＝－x＋n得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为点A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋640，解得－433n433.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n，所以y1＋y2＝n2.所以线段AC的中点坐标为3n4，n4.由四边形ABCD为菱形可知，点3n4，n4在直线y＝x＋1上，所以n4＝3n4＋1，解得n＝－2.所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD的面积S＝32|AC|2.由(1)可得，|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16)－433n433.所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.[变式训练]设F是抛物线G：y2＝2px(p0)的焦点，过点F且与抛物线G的对称轴垂直的直线被抛物线G截得的线段长为4.(1)求抛物线G的方程；(2)设A，B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值．解：(1)因为抛物线G的焦点为Fp2，0，所以直线x＝p2与抛物线G的交点的坐标分别为p2，p，p2，－p，所以2p＝4，即p＝2，所以抛物线G的方程为y2＝4x.(2)设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知，直线AC的斜率k存在，且k≠0.因为直线AC过焦点F(1，0)，所以直线AC的方程可设为y＝k(x－1)．联立得方程组y＝k（x－1），y2＝4x，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1.所以|AC|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝41＋1k2.因为AC⊥BD，所以直线BD的斜率为－1k.所以直线BD的方程为y＝－1k(x－1)．同理，可求得|BD|＝4(1＋k2)．所以S四边形ABCD＝12|AC|·|BD|＝82＋k2＋1k2≥32，当且仅当k2＝1时，等号成立．所以四边形ABCD面积的最小值为32.题型五分类讨论思想方法解题圆锥曲线中的许多问题，如确定轨迹类型的问题、最值问题、参数范围问题等，都可能遇到因变量的范围不同而结果不同的情形，因此要对变量进行讨论，才能确定最后的结果．分类讨论的要求：①确定分类的标准；②分类要合理；③不重不漏．[典例5]求过定点P(0，1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．解：如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P(0，1)的直线方程为x＝0，由x＝0，y2＝2x，得x＝0