2019秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程2．1.2求曲线的方程[学习目标]1.利用坐标法根据曲线的性质求曲线的方程和已知曲线的方程讨论曲线的类型(重点)．2.利用不同的方法求曲线的方程及对坐标法的理解(难点)．3.求曲线方程经常与向量、直线方程、方程思想结合在一起．[知识提炼·梳理]1．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出曲线的方程．(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．2．求曲线的方程的步骤3．坐标法与解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成是满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫做坐标法．用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．温馨提示1．“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上”这一步的证明是必要的．从教材内容看，这一步不做要求，可以省略，但在完成第4步化简时，所用的变形方法应都是可逆的，否则要做适当说明．2．在实际求曲线方程时，这五步可以简化为三大步，即：建系，设点；据条件列方程；化简．[思考尝试·夯基]1．平面内有两定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA→＋PB→|＝4，则点P的轨迹是()A．线段B．半圆C．圆D．直线解析：以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)，则PA→＋PB→＝2PO→＝2(－x，－y)．因为|PA→＋PB→|＝4,所以x2＋y2＝4.答案：C2．已知点A(2，5)，B(3，－1)，则线段AB的方程是()A．6x＋y－17＝0B．6x＋y－17＝0(x≥3)C．6x＋y－17＝0(x≤3)D．6x＋y－17＝0(2≤x≤3)解析：因为是线段AB的方程，所以2≤x≤3，故选D.答案：D3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是()A．x－y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析：因为点的轨迹过A、B的中点且与AB垂直，故选C.答案：C4．已知动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是____________________．解析：由题意知P的轨迹为以(1，－2)为圆心，半径为3的圆，故其方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9.答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝95．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x20＋1.又因为点M为AB的中点，所以x＝0＋x02，y＝y0－12，即x0＝2x，y0＝2y＋1，将其代入y0＝2x20＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.答案：y＝4x2类型1直接法求曲线方程(自主研析)[典例1]已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1，0)，点B(1，0)，求满足条件的点C的轨迹方程．解：如图，设C(x，y)，则AC→＝(x＋1，y)，BC→＝(x－1，y)．因为∠C为直角，所以AC→⊥BC→，即AC→·BC→＝0.所以(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得x2＋y2＝1.因为A，B，C三点要构成三角形，所以A，B，C三点不共线，所以y≠0.所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．归纳升华直接法求曲线方程的步骤及注意点1．步骤：直接法是当动点具有的几何条件比较明显时，由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线方程的方法．2．注意点：利用直接法求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应，否则要“多退少补”，多余的点要剔除(用x，y的取值范围来限制)，不足的点要补充．[变式训练]已知一曲线是到两点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1∶2的点的轨迹，求这条曲线的方程．解：设曲线上任意一点P(x，y)，则|PO||PA|＝12，即（x－0）2＋（y－0）2（x－3）2＋（y－0）2＝12.化简，得x2＋2x＋y2－3＝0.故所求曲线的方程为x2＋2x＋y2－3＝0.类型2定义法求曲线方程[典例2]已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解：如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ，设M为OC的中点，则M的坐标为12，0.因为∠OPC＝90°，所以动点P在以点M12，0为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得x－122＋y2＝14(0＜x≤1)．归纳升华1．如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．2．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．[变式训练]已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．解：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM|＝12|AB|＝3.所以M的轨迹为以原点O为圆心，以3为半径的圆，故M点的轨迹方程为x2＋y2＝9.类型3利用相关点法(代入法)求曲线的方程[典例3]已知△ABC，A(－2，0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．解：设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得x＝－2＋0＋x13，y＝0－2＋y13，所以x1＝3x＋2，y1＝3y＋2.代入y1＝3x21－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1，所以y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．归纳升华代入法的定义及解题步骤1．定义．若动点P依赖于已知曲线上的动点M，借助于动点M求动点P的轨迹方程的方法通常叫代入法，又叫相关点法(动点M叫相关动点)．2．求解步骤．(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系x0＝f（x，y），y0＝g（x，y）；(3)代入相关动点的轨迹方程；(4)化简、整理，得所求轨迹方程．其步骤可总结为“一设二找三代四整理”．3．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，求轨迹方程只要求出方程即可，求轨迹是先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．[变式训练]动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹．解：设动点P(x，y)，M(x0，y0)．因为P为MB的中点，且B(3，0)，所以x＝x0＋32，y＝y02，则x0＝2x－3，y0＝2y.又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以x－322＋y2＝14.因此点P的轨迹是以32，0为圆心，12为半径的圆．1．常见的求曲线方程的方法(1)直译法：根据形成轨迹的几何条件和图形性质，获得动点满足的等量关系，并直接将这种关系“翻译”成关于x，y的等式，从而得到曲线的轨迹方程的方法．(2)代入法(相关点法)：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)的变化而变化，并且点Q(x1，y1)又在已知曲线C上，则可以先用x，y的代数式表示x1，y1，再将x1，y1代入已知曲线C的方程，得到动点P的轨迹方程．(3)定义法：若能够确定动点的轨迹满足某类型曲线的定义(如圆的定义)，则根据曲线的定义可以直接写出轨迹方程．(4)待定系数法：若根据条件能知道曲线方程的类型，则可先设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数．2．易错点：求轨迹方程的“补点”与“去点”曲线的方程、方程的曲线的定义中要满足以下两点：(1)曲线上点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．求动点轨迹方程要同时满足这两个条件，因此就要学会适时“补点”与“去点”：“补点”是指有时求轨迹方程时，会漏掉曲线上的部分点或个别点，应根据条件做出补充；“去点”是指求轨迹方程时，有些方程整理、变形会产生不合题意的点，应去掉．