2019秋高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2.3 独立重复试验与二项分布课件 新人教A版选修

第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2．2.3独立重复试验与二项分布[学习目标]1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布(重点)．2.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题(重点、难点)．1．n次独立重复试验(1)一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)在n次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验影响，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验的结果．温馨提示理解独立重复试验的概念，要注意以下几个方面：(1)每次试验都是在相同条件下进行；(2)每次试验的结果相互独立；(3)每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等．2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk·(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)独立重复试验每次实验之间是相互独立的．()(2)独立重复试验每次实验只有发生与不发生两种结果．()(3)独立重复试验每次实验发生的机会是均等的．()解析：根据独立重复试验的概念知这三个说法都是正确的．答案：(1)√(2)√(3)√2．某学生通过英语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.49B.29C.427D.227解析：记“恰有1次获得通过”为事件A，则P(A)＝C1313·1－132＝49.故选A.答案：A3．设随机变量X～B6，12，则P(X＝3)等于()A.516B.316C.58D.38解析：因为X～B6，12，所以P(X＝3)＝C361231－123＝516.答案：A4.设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝827，那么一次试验成功的概率P等于________．解析：P(X＝2)＝C24p2(1－p)2＝827，即p2(1－p)2＝132·232，解得p＝13或p＝23.答案：13或235．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析：依题意，正面可以出现4次，5次或6次．故P＝C461241－122＋C561251－12＋C66126＝1132.答案：1132类型1求独立重复试验的概率(互动探究)[典例1]甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响(结果须用分数作答)．(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率．(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(A1)＝1－233＝1927.所以甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C22×232＝49，P(B2)＝C12×34×1－34＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)·P(B2)＝49×38＝16.[迁移探究1]典例1(2)中，条件不变，求甲、乙均击中目标1次的概率．解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C12×23×13＝49，P(B3)＝C12×34×14＝38，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝49×38＝16.[迁移探究2]典例1(2)中，条件不变，求甲未击中目标，乙击中2次的概率．解：设“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中目标2次”为事件B4.则P(A4)＝C021－232＝19，P(B4)＝C22342＝916.故甲未击中，乙击中2次的概率为P(A4B4)＝P(A4)P(B4)＝19×916＝116.归纳升华1.运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．2．解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．类型2二项分布[典例2]在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列．解：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB∪A—B—”，且事件A，B相互独立．因为“AB”与“AB”互斥，所以P(AB∪A—B—)＝P(A)P(B)＋P(A—)P(B—)＝12×12＋1－12×1－12＝12.(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.且X～B4，12.所以P(X＝k)＝Ck412k1－124－k＝Ck4124(k＝0，1，2，3，4)．所以随机变量X的分布列为：X01234P116143814116归纳升华1.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次；三是随机变量是事件发生的次数．2．若随机变量满足二项分布，则可以直接由二项分布的概率公式求出概率并写出分布列．[变式训练]一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次射击命中的概率p为()A.13B.23C.14D.25解析：设此射手射击四次命中次数为ξ，所以ξ～B(4，p)．依题意可知，P(ξ≥1)＝8081，所以1－P(ξ＝0)＝1－C04(1－p)4＝8081，所以(1－p)4＝181，所以p＝23或p＝43(舍去)．答案：B类型3二项分布的综合应用(误区警示)[典例3]9粒种子分别种在3个坑内，每个坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．易错提示：易错把每粒种子发芽的概率当成每坑不需要补种的概率．防范措施：有些问题表面看不是n次独立重复试验问题，但经过转化后可看作独立重复试验，从而将问题简化．可见转化思想在数学问题的处理中能发挥的重要作用．[规范解答]因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以单个坑不需补种的概率为1－18＝78.3个坑都不需补种的概率为C03×180×783＝343512；恰有1个坑需要补种的概率为C13×181×782＝147512；恰有2个坑需要补种的概率为C23×182×781＝21512；3个坑都需要补种的概率为C33×183×780＝1512.所以需要补种坑数的分布列为：X0123P343512147512215121512[类题尝试]某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们成功咨询的人数X的分布列．解：由题意可知：X～B3，34，所以P(X＝k)＝Ck334k143－k(k＝0，1，2，3)．P(X＝0)＝C03340143＝164，P(X＝1)＝C13·34·142＝964，P(X＝2)＝C23342·14＝2764，P(X＝3)＝C33343140＝2764.所以X的分布列为：X0123P164964276427641．在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)．正确理解其条件以及参数n，p，k的意义是运用公式的前提，一般含有“恰好”、“恰有”等字样的问题往往考虑独立重复试验的模型．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．3．二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．