2019秋高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1.1 指数与指数幂的运算课件 新人教A版必修1

第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算[学习目标]1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算(重点、难点)．2.理解整数指数幂和分数指数幂的意义，会进行根式与分数指数幂之间的相互转化(重点)．3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质(重点)．[知识提炼·梳理]1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*a0x0n是奇数a0x0x仅有一个值，记为naa0x有两个值，且互为相反数，记为±na个数n是偶数a0x不存在2.根式(1)定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n1，且n∈N*)①(na)n＝a．②na＝a，n为奇数|a|，n为偶数.3．分数指数幂的意义正分数指数幂规定：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)负分数指数幂规定：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)分数指数幂0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4.有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．5．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根式一定是无理式．()(2)若(n－5)n有意义，则整数n一定是奇数．()(3)（π－4）2＝4－π.()(4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．()解析：(1)错，根式不一定是无理式，如327＝3，16＝4.(2)对，当整数n为偶数时，(n－5)n没有意义．(3)对，（π－4）2＝|π－4|＝4－π.(4)对，根据根式与分数指数幂的概念知(4)正确．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．以下说法正确的是()A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N*)D．负数没有n次方根解析：对于A，正数的偶次方根中有负数，所以A错误；对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，所以B错误；对于C，当n＞1且n∈N*时，0的n次方根是0，所以C正确；对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数；所以D错误．答案：C3．在①4（－4）2n，②4（－4）2n＋1，③5a4，④4a5(n∈N，a∈R)各式中，一定有意义的是()A．①②B．①③C．①②③④D．①③④解析：(－4)2n＞0，故①有意义；(－4)2n＋1＜0，故②无意义；③显然有意义；当a＜0时，a5＜0，此时4a5无意义，故④不一定有意义．答案：B4．化简－x3x的结果为()A．－－xB.xC．－xD.－x解析：要使式子有意义，只需－x30，即x0，所以－x3x＝－x－xx＝－－x.答案：A5．已知10a＝2－12，10b＝332，则102a＋34b＝________．解析：102a＋34b＝(10a)2×(10b)34＝(2－12)2×(3213)34＝2－1·254＝214.答案：214类型1n次方根的概念问题(互动探究)[典例1](1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．(2)若4x－2有意义，求实数x的取值范围．(1)解析：因为(±9)2＝81，所以81的平方根为±9，即a＝±9.又(－2)3＝－8，所以－8的立方根为－2，即b＝－2.所以a＋b＝－9－2＝－11或a＋b＝9－2＝7，所以a＋b＝－11或7.答案：－11或7(2)解：要使4x－2有意义，则需x－2≥0，即x≥2.所以x的取值范围为[2，＋∞)．归纳升华n(n1)次方根的个数及符号的确定(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)符号：根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，na为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致．[迁移探究1]若将本例(2)中的“4x－2”改为4x＋2，求实数x的取值范围．解：由于根指数4是偶数，要使4x＋2有意义，则需x＋2≥0，即x≥－2.[迁移探究2]若将本例(2)中的“4x－2”改为5x－2，求实数x的取值范围．解：由于根指数5是奇数，因此x－2为任意实数，故此时x取全体实数．类型2根式与分数指数幂的互化[典例2](1)将分数指数幂a－34(a0)化为根式为________．(2)化简：a2·5a3÷a·10a9＝________(用分数指数幂表示)．(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．①a3·3a2.②a－4b23ab2(a0，b0)．解析：(1)a－34＝1a34＝14a3.(2)(a2·5a3)÷(a·10a9)＝(a2·a35)÷(a12·a910)＝a135÷a75＝a135－75＝a65.答案：(1)14a3(2)a65(3)解：①a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.②a－4b23ab2＝a－4b2·（ab2）13＝a－4b2a13b23＝a－113b83＝a－116b43.归纳升华1．在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：amn＝nam和a－mn＝1amn＝1nam，其中字母a要使式子有意义．2．当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出．[变式训练]下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－x＝(－x)12(x0)B.6y2＝y13(y0)C．x－34＝41x3(x0)D．x－13＝－3x(x≠0)解析：－x＝－x12(x0)；6y2＝(y2)16＝－y13(y0)；x－34＝(x－3)14＝41x3(x0)；x－13＝1x13＝31x(x≠0)．答案：C类型3利用分数指数幂的运算性质化简与求值[典例3]计算(或化简)下列各式：(1)(0.064)－13－－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)a－ba12＋b12－a＋b－2a12·b12a12－b12；(3)14－2＋166－13＋3＋23－2＋4×－623.解：(1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝（a12＋b12）（a12－b12）a12＋b12－（a12－b12）2a12－b12＝a12－b12－(a12－b12)＝0.(3)原式＝(2－2)－2＋(6－32)－13＋(312＋212)2－4×18×632＝24＋612＋5＋2×612－3×612＝21.归纳升华1．基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，一般把根式统一化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简．2．常规方法：(1)化负指数幂为正指数幂；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数进行运算．[变式训练](1)若a0，b0，化简(－3a13b34)÷12a－12b14·(－6a16b12)＝________．(2)计算：2790.5＋0.1－2＋21027－23－3π20＋3748＝________．解析：(1)原式＝[－3×2×(－6)]a13－(－12)＋16b34－14＋12＝36ab.(2)原式＝25912＋102＋6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.答案：(1)36ab(2)100类型4含附加条件的幂的求值问题(规范解答)[典例4](本小题满分12分)已知x＋y＝12，xy＝9，且xy，求x12－y12x12＋y12的值．审题指导：先求x12－y122和x12＋y122的值，再开方求出x12－y12和x12＋y12的值．[规范解答]x12－y122＝x＋y－2xy＝6，(3分)失分警示：此处的“平方”能够将需求值式子与已知条件联系起来，想不到这一点，这题则不易求解．因为xy，所以x12－y12＝－6.(5分)失分警示：此处的“开方”易出现符号的选择错误．x12＋y122＝x＋y＋2xy＝18，(8分)所以x12＋y12＝32.(10分)所以x12－y12x12＋y12＝－632＝－33.(12分)归纳升华条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．常用的整体代入有(a±a－1)2＝a2＋a－2±2，(a＋a－1)(a－a－1)＝a2－a－2.[变式训练]已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求a－ba＋b的值．解：因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，所以a＋b＝6，ab＝4.因为a＞b＞0，所以a＞b.所以a－ba＋b2＝a＋b－2aba＋b＋2ab＝6－246＋24＝210＝15，所以a－ba＋b＝15＝55.1．掌握两个公式：(1)(na)n＝a；(2)n为奇数，nan＝a，n为偶数，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.2．根式一般先转化为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外或由外到内逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．