2019秋高中数学 第二章 基本初等函数 2.1.2 指数函数及其性质（第1课时）指数函数及其性质课

数学必修①·人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第一课时指数函数及其性质1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•2010年11月1日，全国人口普查全面展开，而2000年我国约有13亿人口．我国政府现在实行计划生育政策，人口年增长率较低．若按年增长率1%计算，到2010年底，我国人口将增加多少？到2020年底，我国人口总数将达到多少？如果我们放开计划生育政策，年增长率是2%，甚至是5%，那么结果将会是怎样的呢？会带来灾难性后果吗？•1．指数函数的定义•一般地，函数y＝______(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是__________.•[知识点拨]指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：•(1)底数：大于零且不等于1的常数；•(2)指数：仅有自变量x；•(3)系数：ax的系数是1.ax自变量•2．指数函数的图象和性质•指数函数的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象定义域______值域_____________过定点过定点__________，即x＝0时，y＝1单调性在R上是__________在R上是__________性质奇偶性非奇非偶函数R(0，＋∞)(0,1)增函数减函数•[知识点拨](1)a1是“一撇”，0a1是“一捺”；•(2)图象位于x轴上方；•(3)当x＝0时，y＝1；•(4)在y轴右侧，a越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．•1．下列函数中一定是指数函数的是()•A．y＝2x＋1B．y＝x2•C．y＝3－xD．y＝－2·3xC[解析]只有y＝3－x＝(13)x符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．2．函数y＝(3－1)x在R上是()A．增函数B．奇函数C．偶函数D．减函数D[解析]∵03－11，∴函数y＝(3－1)x在R上是减函数．•3．函数y＝2－x的图象是()B[解析]函数y＝2－x＝(12)x过点(0,1)，且在R上是减函数，故选B．•4．(2019·吉林乾安七中高一期中测试)指数函数f(x)的图象经过点(2,4)，则f(3)＝_____.•[解析]设f(x)＝ax(a0且a≠1)，•由题意，得4＝a2，∴a＝2.•∴f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.8•5．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝_______，b＝_____.－12[解析]根据指数函数的定义，得k＋2＝12－b＝0，解得k＝－1b＝2.互动探究学案命题方向1⇨指数函数的概念•(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()•A．y＝(－4)xB．y＝πx•C．y＝－4xD．y＝ax＋2(a0，a≠1)•(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()•A．a＝1或2B．a＝1•C．a＝2D．a0且a≠1•[思路分析]利用指数函数的定义进行判断．B典例1C[解析](1)函数y＝(－4)x的底数－40，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π1，故B中函数是指数函数；函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B．(2)由题意，得a2－3a＋3＝1a0a≠1，解得a＝2，故选C．『规律方法』判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．〔跟踪练习1〕下列函数中是指数函数的是()A．y＝2·(2)xB．y＝xxC．y＝3－1xD．y＝(3)xD[解析]由指数函数定义可知，函数y＝(3)x是指数函数，故选D．命题方向2⇨指数函数的图象•如图所示是下列指数函数的图象：•(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.•则a，b，c，d与1的大小关系是()•A．ab1cd•B．ba1dc•C．1abcd•D．ab1dcB典例2•[思路分析]根据指数函数的底数与图象间的关系来进行判断．•[解析]可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B．•『规律方法』指数函数图象的变化规律•指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．〔跟踪练习2〕(1)如图所示是指数函数的图象，已知a的值取2，43，310，15，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a依次为()A．43，2，15，310B．2，43，310，15C．310，15，2，43D．15，310，43，2D•[解析]按规律，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，故选D．•(2)若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有()•A．a＞1且b＜1B．0＜a＜1且b≤1•C．0＜a＜1且b＞0D．a＞1且b≤0•[解析]由函数图象不过第二象限知a1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D．D函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为12，求a的值．指数函数中忽视对底数的分类讨论致误典例5[错解]f(x)最大值为f(1)＝a，最小值为f(0)＝1，∴a－1＝12，∴a＝32.[错因分析]忽视当0a1时，函数f(x)在[0,1]上是减函数这种情况，导致漏掉解a＝12.[正解](1)当a＞1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是增函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；当x＝0时，函数f(x)取最小值．由题意得f(1)－f(0)＝12，即a－a0＝12，解得a＝32.(2)当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是减函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最小值；当x＝0时，函数f(x)取最大值．由题意得f(0)－f(1)＝12，即a0－a＝12，解得a＝12.综上知a＝32或12.转化与化归思想的应用•指数型函数的定义域、值域、图象与性质的讨论都可以化归为基本函数y＝ax(a0且a≠1)的相关知识来解决．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝21x-4；(2)y＝(13)x－2.•[思路分析](1)题中x－4满足什么条件时，函数有意义？y的值不可能取得什么？•(2)题中式子的指数中含有根式，若要有意义，需满足什么条件？典例4[解析](1)由x－4≠0，得x≠4，所以定义域为{x∈R|x≠4}．因为1x－4≠0，所以21x-4≠1.所以y＝21x-4的值域为{y|y＞0，且y≠1}．(2)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，x－2≥0，又因为0＜13＜1，所以y＝(13)x－2的值域为{y|0＜y≤1}．•『规律方法』1.函数单调性在求函数值域中的应用•(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．•(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．•2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法•(1)定义域．•函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．•(2)值域．•①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．1．下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝x3B．y＝1xC．y＝5x＋1D．y＝52x•[解析]根据指数函数的定义：形如y＝ax(a0，且a≠1)的函数叫做指数函数，结合选项从而可知y＝52x＝25x为指数函数，故选D．D•2．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()•[解析]由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B项，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C．C•3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)函数y＝ax－2＋1(a0且a≠1)的图象必经过点()•A．(0,1)B．(1,1)•C．(2,0)D．(2,2)•[解析]令x－2＝0，即x＝2，y＝a0＋1＝2，故选D．D4．已知函数f(x)为指数函数，且f(－32)＝39，则f(－2)＝______.19[解析]设f(x)＝ax(a0，a≠1)，∴39＝a－32＝1a32，∴127＝1a3，∴a＝3.∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝19.•5．函数y＝2x(x≥0)的值域是______________.•[解析]∵y＝2x在[0，＋∞)上为增函数，•∴x≥0即y≥20，•∴值域为[1，＋∞)．[1，＋∞)