办公室个人工作总结范文2020

第二章点、直线、平面之间的位置关系章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不要随意推广平面几何中的结论平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．2．弄清楚空间点、线、面的位置关系解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例做出否定的判断或逐个进行逻辑证明做出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)做出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．3．不要忽略异面直线所成的角的范围求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是(0°，90°]．两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．4．透彻理解直线与平面的关系直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外(包括直线与平面平行和相交)；另一种分法是直线与平面平行(无公共点)和直线与平面不平行(直线在平面内和直线与平面相交)．5．使用判定定理时不要忽略条件应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点.专题1点、线、面的位置关系(1)证明共面问题．证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．(2)证明三点共线问题．证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．(3)证明三线共点问题．证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．[例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上．证明：(1)因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH.所以EG与FH必相交，设交点为M.而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上．归纳升华证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做到合理、恰当地转化．[变式训练]下列命题正确的有()①若一直线a与平面α内一直线b平行，则a∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不正确．a⊄α有两种情况，即a∥α和a与α相交，②不正确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面，③不正确．④正确．答案：B专题2平行和垂直的判定证明线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质是本章的重点．线线、线面、面面垂直的判定与性质之间并非孤立的，可以相互转化，可以利用这些判定和性质解决相关平行与垂直的证明等线、面问题．在高考中，常以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重．[例2](2018·北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.由PD⊂平面PCD，得平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.归纳升华1．平行关系的转化．面面平行的性质是线线平行的判定判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程．在解题时把握这一点，灵活确定转化的思想和方向．2．垂直关系的转化．面面垂直的性质是线线垂直的判定在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，再进一步转化为线线垂直．[变式训练](2017·山东卷)由四棱柱ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥C1­B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明：(1)如图所示，取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于多面体ABCD­A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC.因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD，OD的中点，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.专题3空间角的计算空间角包括异面直线所成角、线面角、二面角，常以选择、填空、解答题形式考查，难度中档以上．主要考查转化思想与空间想象能力．[例3]如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．解：(1)因为A′C′∥AC，所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC.因为OC⊥OB，AB⊥平面BC′，所以OC⊥AB且AB∩BO＝B.所以OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图所示，作OE⊥BC于点E，连接AE，因为平面BC′⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝12，AE＝12＋122＝52，所以tan∠OAE＝OEAE＝55.(3)因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB.又因为OC⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.归纳升华求空间角的问题，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求空间角的解题步骤：(1)找出这个角．(2)说明该角符合题意．(3)构造出含这个角的三角形，解三角形，求出角．[变式训练]如图所示，平面角为锐角的二面角α­EF­β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α­EF­β的大小．解：如图，作GH⊥β于点H，作HB⊥EF于点B，连接GB.则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝22a，GH＝12a，sin∠GBH＝GHGB＝22.所以∠GBH＝45°，即二面角α­EF­β的大小为45°.专题4转化与化归思想在立体几何中的应用立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想．(1)线线、线面、面面的位置关系，通过转化，使它们建立联系，如面面平行线面平行线线平行，面面垂直线面垂直线线垂直等，有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的．(2)通过平移，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造出三角形，借助于三角形的知识解决问题．(3)通过添加辅助线，将立体问题转化为平面问题．[例4](2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.连接OB，因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知，PO⊥平面ABC.(2)解：如图所示，作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.所以OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为455.归纳升华证明垂直关系时，注意面面垂直、线面垂直与线线垂直的相互转化．一般地，面面垂直问题可转化为线面垂直问题，线面垂直问题可转化为线线垂直问题．[变式训练]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.证明如下：如图，连接BD和AC交于点O，连接FO，那么PF＝12PB.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点，所以OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，所以OF∥平面PMD.又AM12PB，所以PFMA.所以四边形AFPM是平行四边形，所以AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，所以AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD.