2019秋高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系[学习目标]1.理解空间中直线与直线之间的位置关系(重点)．2.理解异面直线的概念、画法及判定(重点、难点)．3．掌握公理4、掌握等角定理及异面直线所成的角，并能用它们解决一些简单的问题(重点、易错点)．[知识提炼·梳理]1．空间直线的位置关系(1)异面直线．①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．②画法(通常用平面衬托)：(2)空间两条直线的位置关系．共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点温馨提示不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．如图所示，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．2．平行公理(公理4)与等角定理(1)公理4.文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫作空间平行线的传递性．符号表述：a∥b，b∥c⇒a∥c．(2)等角定理．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角)．(2)范围：0°θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是平行直线．()(2)互相垂直的两条直线是相交直线．()(3)即不平行又不相交的两条直线是异面直线．()(4)不在同一平面内的两条直线是异面直线．()解析：异面直线既不平行，也不相交，故(1)选项错误．(3)选项正确；互相垂直不一定相交，因为有异面垂直，故(2)选项错误；不在同一平面内的两条直线平行或异面或相交，故(4)选项错误．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．答案：D3．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为()A．130°B．50°C．130°或50°D．不能确定解析：根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.答案：C4．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，BB′∥AA′，DD′∥AA′，则BB′与DD′的位置关系是________．解析：由公理4知，BB′∥DD′.答案：平行5．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD，BC所成的角为______．解析：如图所示，取AC的中点为H，连接EH，HF，则易得EH∥BC，FH∥AD，所以∠EHF就是异面直线AD，BC所成的角(或所成角的补角)，解△EHF得∠EHF＝120°，则异面直线AD，BC所成的角为60°.答案：60°类型1空间两直线位置关系的判定(自主研析)[典例1]已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断a与c的位置关系，并画图说明．解：直线a与c的位置关系有三种，如图所示．直线a与c可能平行(如图①所示)，也可能相交(如图②所示)，还可能异面(如图③所示).归纳升华1．判定两条直线平行或相交的方法．两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线的方法．(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[变式训练]如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()解析：选项A，B中，PQ∥RS；D项，PQ和RS相交；C项，由异面直线概念可知RS与PQ异面．答案：C类型2平行公理和等角定理的应用[典例2]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以MM1AA1，又因为AA1BB1，所以MM1∥BB1，且MM1＝BB1，所以四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM，由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．所以∠BMC＝∠B1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形．所以B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形．所以C1M1＝CM.又因为B1C1＝BC，所以△BCM≌△B1C1M1.所以∠BMC＝∠B1M1C1.归纳升华1．证明两条直线平行的方法：(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等．(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．证明两个角相等的方法：(1)利用等角定理．(2)利用三角形全等或相似．[变式训练]如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是△ACD的中位线，所以MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.所以MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，所以四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.类型3异面直线所成的角[典例3]如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB.所以∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG为等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.归纳升华1．求两异面直线所成角的一般步骤：(1)作：根据所成角的含义，用平移法作出异面直线所成的角．(2)证：证明作出的角就是要求的角．(3)计算：求角的值，常利用解三角形的相关知识．可用“一作二证三计算”来概括．2．求异面直线所成的角，可通过以下多种方式平移产生：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)．(2)中位线平移法．(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．[变式训练]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．因为EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.又因为AC⊥BD，所以AC⊥EF，所以EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角，将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．