2019秋高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面课件 新人教A版必修2

第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面[学习目标]1.初步理解平面的概念，掌握平面的表示方法．2.掌握平面的基本性质以及三个公理的三种语言描述，并能相互转换，初步掌握它们的简单运用(重点、难点)．3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系(易错点、重点)．[知识提炼·梳理]1．平面(1)平面的概念．几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．(2)平面的画法．水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①所示．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②所示．图①图②(3)平面的表示法．图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．温馨提示平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，它可以无限延展，没有边界．2．点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系：A是点，l，m是直线，α，β是平面．文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于点Al∩m＝Al，α相交于点Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l3.平面的性质公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)书桌面是平面．()(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．()(3)有一个平面的长是50m，宽是20m．()(4)平面是绝对的平整、无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念．()解析：序号正误理由(1)不正确平面是无限延展的(2)不正确平面是无厚度的(3)不正确平面是无限延展的，不可度量(4)正确平面是平整、无厚度、无限延展的答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α解析：观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．答案：A3．下面空间图形画法错误的是()解析：D中被遮住的线画成了实线．答案：D4.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．解析：因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.答案：P∈直线DE5．三条直线两两相交，可确定平面的个数是______个．解析：当三条直线共点时可确定三个或一个，当三条直线不共点时可确定一个平面．答案：一或三类型1三种语言的相互转化(自主研析)[典例1]用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．解：(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．归纳升华1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[变式训练]分别用文字语言和符号语言表示图中的点、直线、平面之间的位置关系．解：用文字语言表示是直线a在平面α内；直线b在平面α内；直线a与直线b相交于点A.用符号语言表示是a⊂α，b⊂α，a∩b＝A.类型2共面问题[典例2]如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.归纳升华证明点、线共面的主要依据是公理1、公理2及其推论，常用的方法有以下两种．1．纳入平面法：先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内．2．辅助平面法：先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明α，β重合．[变式训练]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一(纳入平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内．法二(辅助平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．类型3线共点问题[典例3]如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点．设AB∩CD＝M.因为AB⊂α，CD⊂α，所以M∈α，且M∈α，所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l，即AB，CD，l共点．归纳升华1．证明多线共点的依据是公理3.2．证明多线共点的思路：以三线共点为例，先证两条直线相交于一点，再证第三条直线是分别经过这两条直线的两个平面的交线，由公理3可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，即三条直线交于一点．[变式训练]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：CE，D1F，DA三线交于一点．证明：如图所示，连接EF，D1C，A1B.因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF12A1B.又因为A1BD1C，所以EF∥D1C，所以E，F，D1，C四点共面，且EF＝12D1C.所以D1F与CE相交．设D1F与CE的交点为点P，又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，所以P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．类型4点共线问题[典例4]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，所以BD1⊂平面A1BCD1.同理，BD1⊂平面ABC1D1，所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.又因为A1C⊂平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.所以Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，所以B，Q，D1三点共线．归纳升华1．点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上的问题，主要依据是公理3.2．证明多点共线问题的常见方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．[变式训练]如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面．设这个平面为β，所以AC在平面β内．所以点E在平面β内，且点B，D也在平面β内．而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，即点B，D，E在平面α内，所以B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3可得B，E，D三点共线．1．认识平面的基本特征：无限延展性．2．平面的三条基本性质是研究空间图形的理论基础，公理1是判定直线是否在平面内的依据，公理2是确定一个平面的依据，公理3是判定两个平面相交的依据．3．利用平面的基本性质，可以解决点共面、线共面、点共线、线共点的问题.