2019年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第3课时 建立适当坐

第二十二章二次函数22.3第3课时建立适当坐标系解决实际问题学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．建立坐标系解决球类轨迹等抛物线型问题；2．建立坐标系解决桥拱等抛物线型问题．课堂导入步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉(如图)，喷泉的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？知识管理建立坐标系求解与二次函数相关的实际问题步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数的关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．注意：(1)将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标的关系；(2)设函数关系式时应根据题目条件合理选择三种函数关系式中的一种；(3)求解问题时要防止弄错正、负，能合理地将点的坐标正确地转化为距离或高度．归类探究类型之一球类轨迹等抛物线形问题[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图22­3­11，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．(1)(2)图22­3­11(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式．(2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合．请探究扩建改造后水柱的最大高度．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(3,5)，∴设其函数解析式为y＝a(x－3)2＋5.将(8,0)代入解析式，解得a＝－15.∴抛物线的函数解析式为y＝－15(x－3)2＋5，即y＝－15x2＋65x＋165(0x8)．(2)当y＝1.8时，1.8＝－15x2＋65x＋165，解得x1＝7，x2＝－1(舍去)．答：王师傅必须站在离水池中心7m以内．(3)由y＝－15x2＋65x＋165可得原抛物线与y轴的交点为0，165.∵装饰物的高度不变，∴新抛物线也经过点0，165.∵喷水柱的形状不变，∴a＝－15.∵直径扩大到32m，∴新抛物线也过点(16,0)．设新抛物线为y新＝－15x2＋bx＋c(0x16)．将点0，165和(16,0)代入，解得b＝3，c＝165.∴y新＝－15x2＋3x＋165.∴y新＝－15x－1522＋28920，当x＝152时，y新＝28920.答：扩建改造后水柱的最大高度为28920m.类型之二抛物线形拱桥问题有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.图22­3­12(1)在如图22­3­12的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升hm时，桥下水面的宽度为dm，求出用h表示d的函数解析式；(3)设正常水位时桥下的水深为2m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少时就会影响过往船只在桥下顺利航行．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2.∵在正常水位时，点B的坐标为(10，－4)，∴－4＝a×102，∴a＝－125.∴该抛物线的解析式为y＝－125x2.(2)当水位上升hm时，点D的纵坐标为－(4－h)．设点D的横坐标为x(x0)，则有－(4－h)＝－125x2，∴x1＝54－h，x2＝－54－h(舍去)，∴d＝2x＝104－h.(3)当桥下水面宽为18m时，18＝104－h，∴h＝0.76.又∵2＋0.76＝2.76(m)，∴桥下水深超过2.76m时就会影响过往船只在桥下顺利航行．当堂测评1．在运动员某次投篮时，球从出手到投中篮框中心的运动路径是抛物线y＝－15x2＋3.5的一部分(如图22­3­13)，则他与篮底的水平距离l是()A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6mB图22­3­132．[2018·绵阳]图22­3­14是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面下降2m时，水面宽度增加m.图22­3­143．[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2.在飞机着陆滑行的过程中，最后4s滑行的距离是m.(42－4)24分层作业1．[2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数解析式h＝－t2＋24t＋1，则下列说法正确的是()A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145mD2．[2018·北京]跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．图22­3­15记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为()BA．10mB．15mC．20mD．22.5m图22­3­153．如图22­3­16，东湖隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图的直角坐标系．图22­3­16(1)求该抛物线的解析式．(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面的距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问：这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形的拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？解：(1)根据题意得，该抛物线的顶点坐标为(6,10)，设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋10.将点B(0,4)代入，得36a＋10＝4，解得a＝－16，故该抛物线的解析式为y＝－16(x－6)2＋10.(2)当x＝6＋4＝10时，y＝－16×16＋10＝2236，∴这辆货车能安全通过．(3)当y＝8.5时，－16(x－6)2＋10＝8.5，解得x1＝3，x2＝9，∴x2－x1＝6.答：两排灯的水平距离最小是6m.4．[2017·金华]甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图22­3­17，甲在O点上正方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数解析式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.图22­3­17(1)当a＝－124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．解：(1)①把(0,1)，a＝－124代入y＝a(x－4)2＋h，得1＝－124×16＋h，解得h＝53.②把x＝5代入y＝－124(x－4)2＋53，得y＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.6251.55，∴此球能过网．(2)把点(0,1)，7，125代入y＝a(x－4)2＋h，得16a＋h＝1，9a＋h＝125，解得a＝－15，h＝215，∴a＝－15.