2019年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第2课时 二次函数与

第二十二章二次函数22.3第2课时二次函数与最大利润问题学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式，并体会二次函数的意义，能根据变量的变化趋势进行预测．课堂导入一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期少卖10件；每降价1元，每星期多卖25件．已知该商品的进价为每件40元，请问：①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？知识管理二次函数与价格调整和利润最大问题调整类型：价格调整分涨价和降价．利润求法：(1)由“总利润＝每件的利润×数量”得到二次函数的解析式；(2)根据函数的图象和性质求最大值．注意：商品价格上涨，销售量会随之下降，商品价格下降，销售量会随之增加，两种情况都会导致利润的变化，求利润的最大值，要学会分类讨论．归类探究类型二次函数与最大利润问题[2018·淮安]某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减小10件．(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件．(2)当每件的销售价x(元)为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y(元)最大？请求出最大利润．180解：(1)由题意，得当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为180件．(2)由题意，得y＝(x－40)[200－10(x－50)]，即y＝－10(x－55)2＋2250.∴当x＝55时，y取得最大值，最大值为2250.答：当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润y(元)最大，最大利润为2250元．【点悟】在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值．实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系如图22­3­9.图22­3­9(1)图中点P所表示的实际意义是；当销售单价每提高1元时，销售量相应减少件．(2)请直接写出y与x之间的函数解析式：；自变量x的取值范围为.(3)第二个月的销售单价定为多少元/件时，可获得最大利润？最大利润是多少？当售价定为35元/件时，销售数量为300件20y＝－20x＋100030≤x≤50解：(1)图中点P所表示的实际意义是当售价定为35元/件时，销售数量为300件；第一个月该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，当销售单价每提高1元时，销售量相应减少的数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．(2)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b.将点(30,400)，(35,300)分别代入y＝kx＋b，得400＝30k＋b，300＝35k＋b，解得k＝－20，b＝1000.∴y与x之间的函数解析式为y＝－20x＋1000.当y＝0时，x＝50，∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.(3)设第二个月的利润为z元．由题意，得z＝(x－20)y＝(x－20)(－20x＋1000)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500.∵－200，∴当x＝35时，z取最大值，最大值为4500.∴第二个月的销售单价定为35元/件时，可获得最大利润，最大利润是4500元．当堂测评1．科学家为了推测最适合某种珍稀植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t/℃－4－2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃.－1【解析】设l＝at2＋bt＋c(a≠0)．将(0,49)，(1,46)，(4,25)分别代入，得方程组c＝49，a＋b＋c＝46，16a＋4b＋c＝25，解得a＝－1，b＝－2，c＝49.所以l与t之间的二次函数的解析式为l＝－t2－2t＋49.当t＝－b2a＝－1时，l有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1℃.2．某商场购进一批单价为30元/件的日用商品，如果以单价40元/件销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．当销售单价是元/件时，才能在半月内获得最大利润．45【解析】设销售单价为x元/件，销售利润为y元．根据题意，得y＝(x－30)[400－20(x－40)]＝(x－30)(1200－20x)＝－20x2＋1800x－36000＝－20(x－45)2＋4500.∵－200，∴当x＝45时，y有最大值．分层作业1．[2017·十堰]某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x(x为正整数)元，每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)根据题意，得y＝60＋10x.由36－x≥24，得x≤12，∴1≤x≤12，且x为整数．(2)设所获利润为W元，则W＝(36－x－24)(10x＋60)＝－10x2＋60x＋720＝－10(x－3)2＋810，∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810.答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．2．利民商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息，如图22­3­10.图22­3­10请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品的零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天均可多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都降m元/件，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？解：(1)设甲商品的进货单价是x元/件，乙商品的进货单价是y元/件．根据题意，得x＋y＝5，3x＋1＋22y－1＝19，解得x＝2，y＝3.答：甲商品的进货单价是2元/件，乙商品的进货单价是3元/件．(2)设每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w元，则w＝(1－m)500＋100×m0.1＋[(2×3－1)－3－m]·300＋100×m0.1＝－2000m2＋2200m＋1100＝－2000(m－0.55)2＋1705，∴当m＝0.55时，w有最大值，最大值为1705.答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．3．[2018·抚顺]俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元/件时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元/件．(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？(3)将足球纪念册销售单价定为多少元/件时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？解：(1)y＝300－10(x－44)，即y＝－10x＋740(44≤x≤52)．(2)根据题意，得(x－40)(－10x＋740)＝2400，解得x1＝50，x2＝64(舍去)，答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．(3)w＝(x－40)(－10x＋740)＝－10x2＋1140x－29600＝－10(x－57)2＋2890.当x57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为－10×(52－57)2＋2890＝2640.答：将足球纪念册销售单价定为52元/件时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是2640元．