2019年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图像和性质 22.1.4 第2

第二十二章二次函数22.1.4第2课时用待定系数法求二次函数的解析式学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．让学生利用已知条件设恰当的函数解析式，用待定系数法求二次函数的解析式；2．指导学生利用二次函数的解析式和性质解决问题．课堂导入如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？知识管理用待定系数法求二次函数的解析式一般式：(a≠0)，已知图象上三个点的坐标，通常选择一般式．顶点式：(a≠0)，已知图象的顶点坐标或对称轴，通常选择顶点式．y＝ax2＋bx＋cy＝a(x－h)2＋k归类探究类型之一利用一般式求二次函数的解析式如果一个二次函数的图象经过点(1,0)，(－1，－6)，(2,6)，求这个二次函数的解析式，并求此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则把点(1,0)，(－1，－6)，(2,6)的横、纵坐标分别代入上式，得a＋b＋c＝0，a－b＋c＝－6，4a＋2b＋c＝6，解得a＝1，b＝3，c＝－4，∴所求二次函数的解析式为y＝x2＋3x－4.又∵y＝x2＋3x－4＝x2＋3x＋322－322－4＝x＋322－254，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝－32，顶点坐标为－32，－254.如图22­1­18，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0,2)，C(1,3)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)画出这个二次函数的图象.图22­1­18解：(1)根据题意，得a－b＋c＝－1，c＝2，a＋b＋c＝3，解得a＝－1，b＝2，c＝2，∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋2.(2)画图略．【点悟】已知二次函数图象上任意三点的坐标，可选用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，从而得到关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值就得到二次函数的解析式，再用配方法或公式法可求出抛物线的对称轴和顶点坐标．类型之二利用顶点式求二次函数的解析式已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(－2,3)，且过点(－1,5)，求抛物线的解析式．解：设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋3，把点(－1,5)的坐标代入，得a(－1＋2)2＋3＝5，解得a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3，即y＝2x2＋8x＋11.【点悟】已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴，通常设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．当堂测评1．过(－1,0)，(3,0)，(1,2)三点的抛物线的顶点坐标为()A．(1,2)B．1，23C．(－1,5)D．2，143A2．[2017·雁塔区月考]已知抛物线的顶点坐标是(2,1)，且抛物线的图象经过点(3,0)，则这条抛物线的解析式是()A．y＝－x2－4x－3B．y＝－x2－4x＋3C．y＝x2－4x－3D．y＝－x2＋4x－33．已知A(0,3)，B(2,3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两点，该抛物线的顶点坐标是．D(1,4)4．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图22­1­19，则此抛物线的解析式为.图22­1­19y＝－2x2＋4x＋6分层作业1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…－5－4－3－2－10…y…40－2－204…下列说法正确的是()A．抛物线的开口向下B．当x－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是x＝－52D2．[2017·上海]已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是．(只需写一个)y＝2x2－1(答案不唯一)3．如图22­1­20，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3,0)，那么它对应的函数解析式是.图22­1­20y＝－x2＋2x＋34．如图22­1­21，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2,6)，C(2,2)两点．(1)试求该抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D，求点D的坐标．图22­1­21解：(1)由题意，得4a－2b＋2＝6，4a＋2b＋2＝2，解得a＝12，b＝－1，∴抛物线的解析式为y＝12x2－x＋2.(2)∵y＝12x2－x＋2＝12(x－1)2＋32，∴顶点D的坐标为1，32.5．[2017·邵阳改编]已知顶点为12，－94的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M(2,0)，求抛物线的解析式．解：依题意可设抛物线为y＝ax－122－94，将点M(2,0)代入可得a＝1，则抛物线的解析式为y＝x－122－94＝x2－x－2.6．[2018·宁波]已知抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过点(1,0)，0，32.(1)求该抛物线的函数解析式；(2)将抛物线y＝－12x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．解：(1)把(1,0)，0，32代入抛物线的解析式，得－12＋b＋c＝0，c＝32，解得b＝－1，c＝32，∴该抛物线的解析式为y＝－12x2－x＋32.(2)∵抛物线的解析式为y＝－12x2－x＋32＝－12(x＋1)2＋2，∴可先将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，解析式变为y＝－12x2.7．[2018·枣庄节选]如图22­1­22，已知二次函数y＝ax2＋32x＋c的图象与y轴交于点A(0,4)，与x轴交于点B，C，点C的坐标为(8,0)，连接AB，AC.图22­1­22(1)求二次函数的解析式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)∵二次函数y＝ax2＋32x＋c的图象过点A(0,4)，C(8,0)，∴c＝4，64a＋12＋c＝0.解得a＝－14，c＝4.∴二次函数的解析式为y＝－14x2＋32x＋4.(2)△ABC是直角三角形．理由：令y＝0，则－14x2＋32x＋4＝0.解得x1＝8，x2＝－2.∴点B的坐标为(－2,0)．在Rt△ABO中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20.在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80.又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10，∴BC2＝100，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形．