2019年秋九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质 3.4.2 第1课时 与相似三角形的高、

第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质3.4.2相似三角形的性质第1课时与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南★本节学习主要解决下列问题★1．相似三角形对应高的比等于相似比此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第3题；【分层作业】中的第2,4,6,8,9题．2．相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第1,2题；【分层作业】中的第1,2,3,5,7题．★问题情景引入★下列各图中，△ABC∽△A′B′C′，请分别测量每组图形中的AD，A′D′，AB，A′B′，并计算ADA′D′与ABA′B′，你能发现什么规律？知识管理相似三角形对应线段的比性质：(1)相似三角形对应高的比等于；(2)相似三角形对应的角平分线的比等于；(3)相似三角形对应边上的中线的比等于．提醒：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，在这里要特别注意“对应”两字，在应用时，要注意找准对应线段．相似比相似比相似比归类探究类型之一相似三角形对应高的比等于相似比如图3­4­53，△ABC是一张锐角三角形形状的硬纸片，AD是BC边上的高，BC＝40cm，AD＝30cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.图3­4­53(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求矩形EFGH的周长．(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD＝HGBC.(2)解：设HE＝xcm，则MD＝HE＝xcm.∵AD＝30cm，∴AM＝(30－x)cm.∵HG＝2HE，∴HG＝2xcm.由AMAD＝HGBC可得30－x30＝2x40.解得x＝12，∴2x＝24，∴矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．【点悟】由于矩形的对边平行，且四个角都是直角，因此，求与三角形的内接矩形的边长、周长、面积有关的问题，通常要利用相似三角形的对应高的比等于相似比的性质，将矩形的边长与三角形的边长、高联系起来．类型之二相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比如图3­4­54，已知△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝12，CD与C′D′分别是△ABC与△A′B′C′的中线，BM与B′M′分别是△ABC与△A′B′C′的角平分线，CD＝8cm，BM＝4cm，求C′D′，B′M′的长．图3­4­54解：∵△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝12，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.∴CDC′D′＝12，C′D′＝2CD＝2×8＝16(cm)；BMB′M′＝12，B′M′＝2BM＝2×4＝8(cm)．【点悟】相似三角形对应中线、对应角平分线的比都等于相似比．当堂测评1．如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是()A．1∶2B．1∶4C.1∶8D．1∶162．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，DE＝2，那么它们的对应角平分线的比为()A．1∶2B．1∶3C.2∶1D．1∶4BA3．如图3­4­55，△ABC是一块锐角三角形形状的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，这个正方形零件PQMN的边长是mm.图3­4­5548分层作业1．已知△ABC∽△DEF.若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A.34B．43C.916D．169A2．两个相似三角形的对应高之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为()A．1∶2B．1∶3C.1∶4D．1∶83．已知△ABC∽△A′B′C′，点D是BC的中点，点D′是B′C′的中点，且AB＝2，A′B′＝3，AD＝4，那么A′D′的长为()A．2B．4C.6D．12AC4．已知两个三角形相似，它们的一组对应边的长分别是3和4，那么它们对应高的比是.5．如图3­4­56，已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条角平分线，且AB＝10cm，DE＝5cm，AM＝12cm，求DN的长．图3­4­563∶4解：∵△ABC∽△DEF，∴DNAM＝DEAB，即DN12＝510，∴DN＝6cm.6.如图3­4­57，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，且AD＝6，BE＝9，A′D′＝4，求B′E′的长．图3­4­57解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，∴ADA′D′＝BEB′E′＝ABA′B′.又∵AD＝6，BE＝9，A′D′＝4，∴64＝9B′E′，∴B′E′＝6.7．如图3­4­58，已知△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，且AC＝6，BC＝4，BE＝3，求DF的长．图3­4­58解：∵△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，∴BEDF＝ACBC，即3DF＝64，∴DF＝2.8．如图3­4­59，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝∠ACD＝90°，BM⊥AC于点M，CN⊥AD于点N，且BC＝12，BM＝8，CD＝15.求CN的长．图3­4­59解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD.又∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD.又∵BM⊥AC，CN⊥AD，∴CNBM＝CDBC，即CN8＝1512，∴CN＝10.9．一条河的两岸有一段是平行的，如图3­4­60，在河的南岸边每隔5m有一棵树，在北岸边每隔50m有一根电线杆．小丽站在离南岸边15m的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆A，B恰好被南岸的两棵树C，D遮住，并且这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．图3­4­60解：如答图，过点P作PF⊥AB，交CD于点E，交AB于点F，设河宽为xm.第9题答图∵AB∥CD，∴△PDC∽△PBA，∴ABCD＝PFPE，∴ABCD＝15＋x15.依题意得CD＝5×4＝20(m)，AB＝50m，∴5020＝15＋x15，解得x＝22.5.答：河的宽度为22.5m.