2019年高中数学 第三章 不等式 3.5 绝对值不等式 第一课时 绝对值不等式（1）课件 新人教A

3.5绝对值不等式第一课时绝对值不等式(1)课标要求:1.掌握绝对值三角不等式的基本定理及其应用.2.会用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的几何意义求最值.自主学习知识探究1.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.几何解释:用向量a,b分别替换a,b.(1)当a与b不共线时,有|a+b||a|+|b|,其几何意义为..(2)若a,b共线,当a与b时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b时,|a+b||a|+|b|.由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.ab≥0三角形的两边之和大于第三边反向同向2.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当.时,等号成立.几何解释:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时:①点B在点A或点C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;②点B不在点A,C上时,|a-c||a-b|+|b-c|.应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.(a-b)(b-c)≥0自我检测B1.已知实数a,b满足ab0,则下列不等式成立的是()(A)|a+b||a-b|(B)|a+b||a-b|(C)|a-b|||a|-|b||(D)|a-b||a|+|b|解析:因为ab0,所以|a+b||a-b|.故选B.A2.若a,b∈R,则以下命题正确的是()(A)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(B)|a|-|b||a-b||a|+|b|(C)当且仅当ab0时,|a+b||a-b|(D)当且仅当ab≤0时,|a-b|=|a|-|b|解析:若a=1,b=-1,则B,D不正确.若a=b=1,则C不正确.故选A.3.若a,b,c∈R,且|a-c||b|,则正确的是()(A)|a||b|+|c|(B)|a||b|-|c|(C)|a||b|+|c|(D)|a||b|-|c|A解析:因为||a|-|c||≤|a-c||b|,所以|a|-|c||b|,即|a||b|+|c|.故选A.4.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.解析:由定理得|a+b|≤|a|+|b|=5,当且仅当ab0,即a=3,b=2或a=-3,b=-2时等号成立.因为|a|最小为0,|b|最小为0,故|a+b|最小值为0.所以|a+b|的最大值是5,最小值是0.答案:505.不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|中等号成立的条件是.解析:由定理2易知(a-x)(x-b)≥0时,等号成立.答案:(a-x)(x-b)≥0题型一利用绝对值三角不等式证明不等式课堂探究【例1】(1)若|a-b|c,|b-c|a,求证:ca;(2)设ε0,|x-a|4,|y-b|6.求证:|2x+3y-2a-3b|ε.(2)|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2×4+3×6=ε.解:(1)由|a-b|c及|b-c|a得c-a|a-b|-|b-c|≤|(a-b)+(b-c)|=|a-c|=|c-a|.由c-a|c-a|知c-a0,故ca.方法技巧绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.即时训练1-1:(1)设|a|1,|b|1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()(A)|a+b|+|a-b|2(B)|a+b|+|a-b|2(C)|a+b|+|a-b|=2(D)不可能比较大小解:(1)当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|2.当(a+b)(a-b)0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|2.故选B.(2)已知|A-a|3s,|B-b|3s,|C-c|3s.求证:|(A+B+C)-(a+b+c)|s.解:(2)|(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|≤|(A-a)+(B-b)|+|C-c|≤|A-a|+|B-b|+|C-c|.因为|A-a|3s,|B-b|3s,|C-c|3s,所以|A-a|+|B-b|+|C-c|3s+3s+3s=s.所以|(A+B+C)-(a+b+c)|s.题型二利用绝对值三角不等式求最值【例2】(1)函数y=|x+1|+|x-2|的最小值为.解析:(1)y=|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,所以y≥3.所以函数的最小值为y=3,此时(x+1)(2-x)≥0,即-1≤x≤2.所以-1≤x≤2时,函数的最小值为3.答案:(1)3(2)若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.解析:(2)设f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值.因为|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,所以a≥1.答案:(2)[1,+∞)方法技巧(1)利用绝对值三角不等式求函数y=|f(x)|+|g(x)|的最小值,可利用|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)+g(x)|或|f(x)+g(x)|≥|f(x)-g(x)|来求解,选择依据是看用哪个能消去变量x.此外,也可求y=|f(x)|-|g(x)|的最大值.(2)求不等式恒有解时参数的取值范围,其原理是:若函数f(x)在D上存在最大值f(x)max(或最小值f(x)min),则对一切x∈D,不等式f(x)A(或f(x)B)恒成立,当且仅当f(x)maxA(或f(x)minB).即时训练2-1:(1)若关于x的不等式|x-1|+|x+m|3的解集为R,则实数m的取值范围是()(A)(-∞,-4)∪(2,+∞)(B)(-∞,-4)∪(1,+∞)(C)(-4,2)(D)[-4,1]解析:(1)由于|x-1|+|x+m|3表示数轴上的x对应点到1和-m的距离之和,它的最小值等于|1+m|,由题意可得|1+m|3,解得m2,或m-4,故实数m的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).故选A.解析:(2)由题意得(|x-1|-|x-2|)maxa2+a+1,因为(|x-1|-|x-2|)max=2-1=1,所以1a2+a+1,解得实数a的取值范围为(-∞,-1)∪(0,+∞).故选D.(2)若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1(x∈R)的解集为空集,则实数a的取值范围是()(A)(0,1)(B)(-1,0)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)∪(0,+∞)题型三绝对值三角不等式的综合考查【例3】(1)已知f(x)=|x+1x-a|+|x-1x-a|+2x-2a(x0)的最小值为32,则实数a=.(1)解析:f(x)=|x+1x-a|+|x-1x-a|+2x-2a|(x+1x-a)-(x-1x-a)|+2x-2a=|2x|+2x-2a=2x+2x-2a≥222xx-2a=4-2a,当且仅当2x=2x,即x=1时,上式等号成立.由4-2a=32,解得a=54.答案:54(2)设a,b∈R,求证:||1||aa+||1||bb≥||1||abab.(2)解:法一①若ab=0或a+b=0,不等式显然成立.②若ab≠0且a+b≠0,因为|a+b|≤|a|+|b|,所以||||1||||abab=111||||ab≥111||ab=||1||abab(*),又||1||aa||1||||aab,||1||bb||1||||bab,所以||1||aa+||1||bb||||1||||abab.又由(*)式可知||1||aa+||1||bb||1||||abab.综上①②可知||1||aa+||1||bb||1||abab法二若ab=0或a+b=0,不等式显然成立.若ab≠0且a+b≠0,因为|a+b|≤|a|+|b|,所以01+1||||ab≤1+1||ab.即01||||||||abab≤1||||abab.取倒数得||||1||||abab≥||1||abab,又由法一知,原不等式成立.法三构造函数f(x)=1xx,任取x1,x2∈[0,+∞)且x1x2,有f(x1)-f(x2)=111xx-221xx=1212(1)(1)xxxx0.所以f(x)在[0,+∞)上为增函数.又|a|+|b|≥|a+b|,所以f(|a|+|b|)≥f(|a+b|),即||||1||||abab≥||1||abab.又由法一知,所证不等式成立.方法技巧(1)含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利用|a+b|≤|a|+|b|及推广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|进行放缩.(2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.应用绝对值不等式性质求函数的最值时,一定要注意等号成立的条件:当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|;当(a-b)(b-c)≥0时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.解析:(1)|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,即|a|(|x-1|+|x-2|)≤2|a|,所以|x-1|+|x-2|≤2,根据绝对值的几何意义,可知12和52到点1和2的距离和为2,所以不等式的解集为[12,52].即时训练3-1:(1)对任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,则实数x的取值范围为.答案:(1)[12,52]解析:(2)当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,|3+2ba|-|1-2ba|≤x+mx+1,而|3+2ba|-|1-2ba|≤|(3+2ba)+(1-2ba)|=4,所以x+mx+1≥4,即m≥3x-x2,当1≤x≤3时,3x-x2≤3×32-94=94,所以m≥94.(2)当1≤x≤3时,|3a+2b|-|a-2b|≤|a|·(x++1)对任意实数a,b都成立,则实数的取值范围是.答案:(2)[94,+∞)mx