2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-

2.4.2抛物线的简单几何性质课标要求:1.掌握抛物线的简单几何性质,并能应用性质解题.2.理解直线与抛物线的位置关系.自主学习知识探究1.抛物线y2=2px(p0)的简单几何性质(1)范围由p0和方程y2=2px可知,对于抛物线y2=2px(p0)上的点M(x,y),x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧,开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性以-y代替y,方程y2=2px(p0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px(p0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线y2=2px(p0)的顶点就是坐标原点.(4)离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.2.四种标准方程对应的抛物线性质的比较标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称性关于x轴对称关于y轴对称顶点坐标原点几何性质离心率e=13.直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系:相离、相切、相交.(1)直线的斜率存在时,设直线y=kx+m与抛物线y2=2px(p0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,将y=kx+m代入y2=2px,消去y并化简,得k2x2+2(mk-p)x+m2=0.①当k=0时,直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个公共点.②当k≠0时,判别式Δ0⇔直线与抛物线相交,有两个公共点;判别式Δ=0⇔直线与抛物线相切,有且只有一个公共点;判别式Δ0⇔直线与抛物线相离,没有公共点.(2)直线的斜率不存在时,设直线l:x=m,抛物线:y2=2px(p0).显然,当m0时,直线与抛物线相离,无交点;当m=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当m0时,直线与抛物线相交,有两个交点.4.焦点弦如图,AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则根据抛物线的定义有|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,故|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|.因为MM1是梯形AA1B1B的中位线,所以|AB|=|AA1|+|BB1|=2|MM1|.综上可得以下结论:①|AF|=x1+2p,|BF|=x2+2p,所以|AB|=(x1+2p)+(x2+2p)=x1+x2+p,其称为抛物线的焦点弦长公式.另外,易得以过焦点的弦为直径的圆和准线相切.②|AB|=2(x0+2p)(焦点弦长与中点坐标的关系).③A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2=24p,y1y2=-p2.④若直线AB的倾斜角为α,则|AF|=1cosp,|FB|=1cosp,从而|AB|=22sinp,AFFB=1cos1cos,1AF+1FB=2p,S△OAB=22sinp.⑤设弦AB的斜率为k,则焦点弦|AB|=2p(1+21k).5.通径(1)定义通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A,B两点的线段AB,称为抛物线的通径,如图所示.对于抛物线y2=2px(p0),由A(2p,p),B(2p,-p),可得|AB|=2p,故抛物线的通径长为2p.(2)通径在反映抛物线开口大小上的作用线段AB叫做抛物线的通径,长度为2p,这是常数2p的又一几何意义,所以p越大,通径越大,即抛物线的开口越大;反之,p越小,通径越小,即抛物线的开口越小.通径是所有焦点弦中最短的弦.自我检测1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()(A)y2=-8x(B)y2=8x(C)y2=-4x(D)y2=4xB2.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为()(A)213(B)215(C)217(D)219B3.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()(A)直线与抛物线有一个公共点(B)直线与抛物线有两个公共点(C)直线与抛物线有一个或两个公共点(D)直线与抛物线可能没有公共点C4.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=.答案:85.过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的两弦OM,ON,则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为.答案:16题型一抛物线简单几何性质的应用课堂探究【例1】已知抛物线y2=8x,(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围;解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.解:(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=23|OM|.因为F(2,0),所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0),故设A(3,m)(m0).代入y2=8x得m2=24,所以m=26,所以A(3,26),B(3,-26),所以|OA|=|OB|=33,所以△OAB的周长为233+46.(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.易错警示抛物线的几何性质(对称性、范围等)在解决抛物线问题时,有着广泛的应用,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等,解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件.即时训练1-1:(1)若双曲线方程是28x-29y=1,则以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为,抛物线的准线方程为.(1)解析:因为双曲线28x-29y=1的右顶点坐标为(22,0),所以2p=22,且抛物线的焦点在x轴正半轴上,故所求抛物线的标准方程为y2=82x,其准线方程为x=-22.答案:y2=82xx=-22(2)已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求此抛物线方程.(2)解:设抛物线方程为y2=2px(p0),其准线为x=-2p.设A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|+|BF|=8得x1+x2=8-p.因为Q在AB的中垂线上,所以|QA|=|QB|,即(x1-6)2+21y=(x2-6)2+22y,又21y=2px1,22y=2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2,则x1+x2-12+2p=0.所以p=4,即抛物线的方程为y2=8x.题型二直线与抛物线的位置关系解:由方程组2(1),4ykxyx消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.记Δ=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2).①若直线与抛物线有两个交点,则k2≠0,且Δ0,即k2≠0,且16(1-k2)0,解得k∈(-1,0)∪(0,1).所以当k∈(-1,0)∪(0,1)时,直线l和抛物线C有两个交点.【例2】已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点,一个交点,无交点?②若直线与抛物线有一个交点,则k2=0或k2≠0时,Δ=0.解得k=0或k=±1.所以当k=0或k=±1时,直线l和抛物线C有一个交点.③若直线与抛物线无交点,则k2≠0且Δ0.解得k1或k-1.所以当k1或k-1时,直线l和抛物线C无交点.题后反思研究直线和抛物线的位置关系时,由于消元后所得的方程中含参数,因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论.即时训练2-1:(1)已知抛物线C的方程为x2=12y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)(B)(-∞,-22)∪(22,+∞)(C)(-∞,-22)∪(22,+∞)(D)(-∞,-2)∪(2,+∞(1)解析:由两点式可得直线AB方程为4x-ty-t=0,由21,240xyxtyt消去y可得2tx2-4x+t=0,因为直线AB与抛物线C没有公共点,所以Δ=16-4×2t×t0,所以t2或t-2.故选D.(2)解:显然,直线斜率k存在,设其方程为y-2=k(x+3),由22(3),4,ykxyx消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0.(*)①当k=0时,方程(*)化为-4y+8=0,即y=2,此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.(2)过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.②当k≠0时,方程(*)应有两个相等实根.由0,0,k即0,164(812)0,kkk得k=13或k=-1.所以直线方程为y-2=13(x+3)或y-2=-(x+3),即x-3y+9=0或x+y+1=0.故所求直线有3条,其方程分别为y=2,x-3y+9=0,x+y+1=0.抛物线的焦点弦问题题型三规范解答:因为直线l的倾斜角为60°.所以其斜率k=tan60°=3.又F(32,0),所以直线l的方程为y=3(x-32).………………4分联立26,33(),2yxyx消去y得x2-5x+94=0.……………………7分设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,………………………………8分而|AB|=|AF|+|BF|=x1+2p+x2+2p=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8.…10分【例3】已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x=-32,所以点M到准线的距离为3+32=92.变式探究:若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“|AB|=9”,求线段AB的中点M到准线的距离.方法技巧求圆锥曲线的弦长时,为简化计算常常借助根与系数的关系,这样可以避免分别求x1,x2(或y1,y2)的麻烦,如果是利用弦长求参数的问题,只需要列出参数的方程或不等式即可求解,而x1,x2(或y1,y2)一般是求不出来的.即时训练3-1:已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:(1)y1y2=-p2,x1x2=24p证明:(1)由已知得抛物线焦点坐标为(2p,0).由题意可设直线方程为x=my+2p,代入y2=2px,得y2=2p(my+2p),即y2-2pmy-p2=0.(*)则y1,y2是方程(*)的两个实数根,所以y1y2=-p2.因为21y=2px1,22y=2px2,所以21y22y=4p2x1x2,所以x1x2=221224yyp=424pp=24p.(2)1AF+1BF为定值;证明:(2)1AF+1BF=112px+212px=1221212()24xxpppxxxx.因为x1x2=24p,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得1AF+1BF=22()424ABpppABp=2p(定值).证明:(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(3)以AB为