2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1

2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程课标要求:1.掌握抛物线的定义及标准方程.2.理解焦点、准线方程的意义,会根据条件求抛物线的标准方程.自主学习知识探究1.定义与表示平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.设点M(x,y)是抛物线上任意一点,抛物线的焦点为F,准线为l,点M到准线l的距离为d,则由抛物线的定义知,抛物线可以视为动点M的集合P={M||MF|=d,d0}.注意:(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点,设为M;一个定点F叫做抛物线的焦点;一条定直线l叫做抛物线的准线;一个定值,即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程的四种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p0)F(2p,0)x=-2p(2)注意定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直线.如,到点F(0,1)与到直线l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程为x-y+1=0,轨迹是一条直线.y2=-2px(p0)F(-2p,0)x=2px2=2py(p0)F(0,2p)y=-2px2=-2py(p0)F(0,-2p)y=2p注意:(1)只有抛物线的顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.(2)标准方程的特征:等号的一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一个变量的一次单项式.(3)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p0),通常又可以写成y=ax2,这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的,但需要注意由方程y=ax2求焦点坐标和准线方程时,必须先将抛物线的方程化成标准形式.(4)将四种不同位置的抛物线的标准方程进行对比,分析可得它们的异同点:①共同点:a.原点在抛物线上;b.焦点都在坐标轴上;c.准线与焦点所在的轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,且到原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14,即24p=2p.②不同点:a.当焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;当焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;b.开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.3.参数p的几何意义抛物线的标准方程中参数p的几何意义是:抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p0的错误.自我检测1.以直线3x-4y-12=0与x轴的交点为焦点的抛物线的方程为()(A)y2=16x(B)y2=-16x(C)y2=12x(D)y2=-12xA解析:因为焦点为直线3x-4y-12=0与x轴的交点,所以令y=0,得x=4,则焦点为(4,0),故所求抛物线的方程为y2=16x.故选A.2.以双曲线216x-29y=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()(A)y2=16x(B)y2=12x(C)y2=-20x(D)y2=20xA3.已知动点M(x,y)的坐标满足22(2)xy=|x+2|,则动点M的轨迹是()(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)以上均不对C4.已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l:x=-2的距离相等,则点P的轨迹方程为,焦点到准线的距离为.答案:y2=8x4答案:y2=4x或x2=-12y5.过点(1,-2)的抛物线的标准方程是.题型一抛物线定义的应用课堂探究规范解答:(1)由于动点M到F(12,0)的距离比它到y轴的距离大12,所以动点M到F(12,0)的距离与它到直线l:x=-12的距离相等.由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程应为y2=2px(p0)的形式,而2p=12,所以p=1,2p=2,故轨迹方程为y2=2x.【例1】已知点A(3,2),点M到F(12,0)的距离比它到y轴的距离大12.(1)求点M的轨迹方程;(2)是否存在M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.规范解答:(2)如图,由于点M在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当A,M,N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,这时M的纵坐标为2,可设M(x0,2),代入抛物线方程得x0=2,即M(2,2).变式探究:已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()(A)172(B)3(C)5(D)92解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得,点P到准线x=-12的距离d=|PF|,易知点A(0,2)在抛物线y2=2x的外部,欲使所求距离之和最小,只需A,P,F共线,所以其最小值为|AF|=221(0)(20)2=172.故选A.方法技巧(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,故两者可相互转化,这也是利用抛物线定义解题的实质.(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时,首先要注意应用抛物线的定义进行转化,其次是注意平面几何知识的应用,例如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线中,垂线段最短等.即时训练1-1:(1)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为()(A)522+2(B)522+1(C)522-2(D)522-1解析:(1)设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义,|PF|=d1+1,d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,显然当PF垂直于直线x-y+4=0时,d1+d2最小.此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离,为1042=522,所以d1+d2的最小值为522-1.故选D.答案:(1)D(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为.解析:(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4.答案:(1)D(2)4题型二抛物线的标准方程解:(1)①因为p=7,所以焦点坐标是(-72,0),准线方程是x=72.【例2】(1)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:①y2=-14x;②5x2-2y=0;③y2=ax(a0).②抛物线方程化为标准形式为x2=25y,因为p=15,所以焦点坐标是(0,110),准线方程是y=-110.③由a0知p=2a,所以焦点坐标是(4a,0),准线方程是x=-4a.(2)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.①准线方程为2y+4=0;解:(2)①准线方程为2y+4=0,即y=-2,故抛物线焦点在y轴的正半轴上,设其方程为x2=2py(p0),又2p=2,所以2p=8,故抛物线的标准方程为x2=8y.解:②因为点(3,-4)在第四象限,所以设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)或x2=-2p1y(p10).把点(3,-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y,得(-4)2=2p·3,32=-2p1·(-4),即2p=163,2p1=94.所以所求抛物线的标准方程为y2=163x或x2=-94y.②过点(3,-4);③焦点在直线x+3y+15=0上.③令x=0得y=-5;令y=0得x=-15.所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).所以所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.方法技巧(1)已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程.需注意p0,焦点所在轴由标准方程一次项确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.(2)求抛物线的标准方程的关键与方法①关键:确定焦点在哪个坐标轴上,进而求方程的有关参数.②方法:a.直接法:建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程;b.直接根据定义求p,最后写标准方程;c.利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.解:(1)把抛物线方程y=ax2化成标准方程x2=1ay.当a0时,焦点坐标是(0,14a),准线方程是y=-14a;当a0时,焦点坐标是(0,14a),准线方程是y=-14a.综上知,所求抛物线的焦点坐标为(0,14a),准线方程为y=-14a.即时训练2-1:(1)求抛物线y=ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程.解:(2)①法一设所求抛物线方程为x2=-2py(p0),将点(-1,-3)的坐标代入方程,得(-1)2=-2p·(-3),解得p=16,所以所求抛物线方程为x2=-13y.法二由已知,抛物线的焦点在y轴上,因此设抛物线的方程为x2=my(m≠0).又抛物线过点(-1,-3),所以1=m·(-3),即m=-13,所以所求抛物线方程为x2=-13y.(2)根据下列条件确定抛物线的标准方程.①关于y轴对称且过点(-1,-3);②过点(4,-8);解:②法一设所求抛物线方程为y2=2px(p0)或x2=-2p′y(p′0),将点(4,-8)的坐标代入y2=2px,得p=8;将点(4,-8)的坐标代入x2=-2p′y,得p′=1.所以所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y.法二当焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=nx(n≠0),又抛物线过点(4,-8),所以64=4n,即n=16,抛物线的方程为y2=16x;当焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=my(m≠0),又抛物线过点(4,-8),所以16=-8m,即m=-2,抛物线的方程为x2=-2y.综上,抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-2y.解:③由0,240xxy得0,2,xy由0,240yxy得0,4.yx所以所求抛物线的焦点坐标为(0,-2)或(4,0).当焦点为(0,-2)时,由2p=2得p=4,所以所求抛物线方程为x2=-8y;当焦点为(4,0)时,由2p=4,得p=8,所以所求抛物线方程为y2=16x.综上所述,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.③焦点在x-2y-4=0上.抛物线的实际应用题型三【例3】(2018·浙江杭州高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,求水面的宽度.解:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py得p=1.所以x2=-2y.当水面下降1m,得D(x0,-3)(x00),将其坐标代入x2=-2y得20x=6,所以x0=6,所以水面宽|CD|=26m.题后反思涉及与抛物线有关的桥的跨度,隧道高低等问题,一般用抛物线的标准方程来解决,建立直角坐标系后,应注意点坐标的正负及其实际意义.解析:如图所示,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为x2=-2py(p0),因为点C(5,-5)在抛物线上,所以25=-2p·(-5),因此2p=5,所以抛物线的方程为x2=-5y,因为点A(-4,y0)在抛物线上,所以16=-5y0即y0=-165,所以OA的长为5-165=1.8(m).即管柱OA的长为1.8m.即时训练3-1:喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处,喷出水流的最高点B高5m,且与OA所在的直线相距4m,水流落在以O为圆心,半径为9m的圆上,则管柱OA=m.答案:1.8