2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-

2.3.2双曲线的简单几何性质课标要求:1.掌握双曲线的简单几何性质.2.能够利用双曲线的简单几何性质解题.3.能区分椭圆与双曲线的性质.自主学习知识探究研究标准方程22xa-22yb=1(a0,b0)的几何性质.1.范围(1)从“形”的角度看,双曲线在直线x=a与x=-a的外侧,即双曲线在不等式x≥a与x≤-a所表示的平面区域内,而在直线x=a与x=-a之间没有图象.(2)从“数”的角度看,双曲线上点的坐标满足22xa-1=22yb≥0,即x2≥a2,所以x≥a或x≤-a.这说明双曲线在不等式x≥a与x≤-a所表示的平面区域内.3.顶点与实轴、虚轴(1)顶点双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点.在方程22xa-22yb=1(a0,b0)中,令y=0,得x=±a,所以双曲线与x轴的两个交点为A1(-a,0),A2(a,0),即双曲线的顶点,如图.令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根,说明双曲线与y轴没有交点,但是我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上2.对称性以-x代x可得双曲线关于y轴对称;以-y代y可得双曲线关于x轴对称;以-x代x,-y代y可得双曲线关于原点对称.即坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.4.渐近线通过观察双曲线的图形可以看出,当双曲线的各支向外延伸时,与两条直线y=±bax逐渐接近,但永不相交,我们把这两条直线称为双曲线的渐近线.(2)实轴、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.5.离心率(1)定义双曲线的焦距与实轴长的比ca,叫做双曲线的离心率.由a2+b2=c2可得e=ca=21()ba.(2)范围由ca0可知双曲线的离心率e1.(3)几何意义(教材第58页【思考】)由等式c2=a2+b2,得ba=22caa=221ca=21e.因此e越大,ba也越大,即渐近线y=±bax的斜率的绝对值越大,这时双曲线的开口就越大,因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度.6.双曲线22xa-22yb=1,22ya-22xb=1(a0,b0)的几何性质比较标准方程22xa-22yb=1(a0,b0)22ya-22xb=1(a0,b0)图形范围|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴线段A1A2是双曲线的实轴,线段B1B2是双曲线的虚轴.实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b渐近线直线y=±bax直线y=±abx离心率e=22ca=ca(e1)7.等轴双曲线与共轭双曲线(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,等轴双曲线有如下性质:①方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);②渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角;③实轴长和虚轴长相等,离心率e=2.(2)以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是一对共轭双曲线.例如,双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)与22yb-22xa=1(a0,b0)是一对共轭双曲线,其性质如下:①两个共轭双曲线有相同的渐近线;③由于e1=ca,e2=cb,则211e+221e=22ac+22bc=1,可知,共轭双曲线的离心率不同,但离心率倒数的平方和等于常数1.②两个共轭双曲线有相同的焦距;自我检测1.若双曲线的标准方程为24x-y2=1,则其渐近线方程是()(A)y=±2x(B)y=±4x(C)y=±14x(D)y=±12xD2.若双曲线22xa-22yb=1(a,b0)的渐近线方程为y=±33x,则该双曲线的离心率为()(A)33(B)233(C)2(D)62B3.已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为()(A)12(B)32(C)72(D)5C解析:如图所示,点P是以A,B为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|PA|最小,最小值为a+c=32+2=72.故选C.4.已知双曲线22xa-22yb=1的离心率为2,焦点与椭圆225x+29y=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.答案:(4,0),(-4,0)y=±3x5.已知双曲线29x-216y=1的左顶点为A,过右焦点F作垂直于x轴的直线,交双曲线于M,N两点,则△AMN的面积为.答案:1283题型一双曲线的简单几何性质课堂探究规范解答:把方程nx2-my2=mn(m0,n0)化为标准方程2xm-2yn=1(m0,n0),……2分由此可知,实半轴长a=m.虚半轴长b=n,c=mn,…………………………4分焦点坐标(mn,0),(-mn,0),离心率e=ca=mnm=1nm,顶点坐标为(-m,0),(m,0).渐近线方程为y=±nmx=±mnmx.………10分【例1】(10分)求双曲线nx2-my2=mn(m0,n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解:将方程4x2-y2=-4变形为24y-x2=1.所以a=2,b=1,c=5.所以实半轴长为2,虚半轴长为1,焦点坐标为(0,-5),(0,5).离心率e=ca=52,顶点坐标为(0,-2),(0,2).渐近线方程为y=±2x.变式探究:将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解之.方法技巧由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤即时训练1-1:(1)设F是双曲线C:22xa-22yb=1的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,求C的离心率;解:(1)由题意可设P(-c,2b),则22ca-224bb=1.所以e=ca=5.解:(2)将9x2-y2=81化为29x-281y=1,所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=9,b2=81,从而a=3,b=9,c=981=310,所以实轴长2a=6,虚轴长2b=18,顶点坐标为(3,0),(-3,0),焦点坐标为(310,0),(-310,0),渐近线方程为y=±3x,离心率e=3103=10.(2)求双曲线9x2-y2=81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程、离心率.题型二由几何性质求双曲线的方程【例2】(1)已知双曲线C:22xa-22yb=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()(A)24x-23y=1(B)29x-216y=1(C)216x-29y=1(D)23x-24y=1解析:(1)由已知得c=5,ca=54,解得a=4,故b=22ca=3,故选C.答案:(1)C(2)过双曲线C:22xa-22yb=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心,半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()(A)24x-212y=1(B)27x-29y=1(C)28x-28y=1(D)212x-24y=1解析:(2)设双曲线的右顶点为B,则B(a,0).不妨取渐近线y=bax,则A点的坐标为(a,b),从而可知|OA|=c.因为由已知可知|OF|=|AF|=c=4,所以△OAF为边长是c的等边三角形,又AB⊥OF,所以|OB|=a=2,|AB|=b=23.故所求的双曲线方程为24x-212y=1.故选A.答案:(2)A(3)与双曲线29x-216y=1有共同的渐近线且过点P(-3,26)的双曲线方程为;解析:(3)设所求双曲线方程为29x-216y=λ(λ≠0).因为点P(-3,26)在双曲线上,所以2(3)9-2(26)16=λ,解得λ=-12.所以所求双曲线方程为28y-229x=1.答案:(3)28y-229x=1(4)已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.解析:(4)显然双曲线的焦点在x轴上,又易知直线l与x轴交于点(-5,0),所以c=5.又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故有ba=2,结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲线的方程为25x-220y=1.答案:(4)25x-220y=1方法技巧(1)由几何性质求双曲线方程的方法由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,常用待定系数法.首先,根据所给的性质,判断焦点的位置,设出双曲线的标准方程,再利用已知构造关于参数的方程(组)求得.当双曲线的焦点位置不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论.若已知双曲线的渐近线方程为xa±yb=0,求双曲线方程时,为避免讨论,减少运算量,可设双曲线方程为22xa-22yb=λ(λ≠0),再根据其他条件确定λ的值.(2)巧设双曲线方程的六种常用方法①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为22xa-22yb=1(a0,b0).②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为22ya-22xb=1(a0,b0).③与双曲线22xa-22yb=1共焦点的双曲线方程可设为22xa-22yb=1(λ≠0,-b2λa2).④与双曲线22xa-22yb=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为22xa-22yb=λ(λ≠0).⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).即时训练2-1:求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程:(1)虚轴长为12,离心率为54;解:(1)设双曲线的标准方程为22xa-22yb=1或22ya-22xb=1(a0,b0),由题意知2b=12,ca=54且c2=a2+b2,所以b=6,c=10,a=8.所以标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.(2)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±32x;解:(2)法一当焦点在x轴上时,ba=32且a=3,所以b=92.所以标准方程为29x-2814y=1.当焦点在y轴上时,ab=32且a=3,所以b=2.所以标准方程为29y-24x=1.法二设以y=±32x为渐近线的双曲线方程为24x-29y=λ(λ≠0).当λ0时,a2=4λ,所以2a=24=6⇒λ=94;当λ0时,a2=-9λ,所以2a=29=6⇒λ=-1.所以标准方程为29x-2814y=1或29y-24x=1.解:(3)设与双曲线22x-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为22x-y2=k,将点(2,-2)代入得k=222-(-2)2=-2,所以双曲线的标准方程为22y-24x=1.(3)与双曲线x2-2y2=2有公共的渐近线,且过点M(2,-2).(4)双曲线过点(3,92),离心率e=103;解:(4)e2=109,得22ca=109,设a2=9k(k0),则c2=10k,b2=c2-a2=k.于是,设所求双曲线方程为29xk-2yk=1,①或29yk-2xk=1,②把(3,92)代入①,得k=-161与k0矛盾,无解;把(3,92)代入②,得k=9,故所求双曲线方程为281y-29x=1.解:(5)可设所求双曲线方程为219x-y2=λ(λ≠0)(*),将点P(2,-1)的坐标代入(*),得λ=35,所以所求的双曲线方程为2359x-235y=1.(5)过点P(2,-1),渐近线方程是y=±3x.直线与双曲线的位置关系题型三解:由224,(1)xyykx消去y得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程化为2x=5,故此时方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,且只有一个公共点.【例3】已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个公共点;当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2