2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第二课时 直线与椭圆的位

第二课时直线与椭圆的位置关系课标要求:1.理解直线与椭圆的位置关系.2.掌握直线与椭圆位置关系的判断方法.3.会用代数方法解决椭圆的弦长问题、中点弦问题.自主学习知识探究1.直线与椭圆的三种位置关系类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示.2.利用方程讨论直线与椭圆的位置关系设直线方程为y=kx+m,椭圆方程为22xa+22yb=1(ab0),联立方程得2222,1.ykxmxyab根据方程组解的情况,便可确定直线与椭圆的位置关系,通常消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程.一般地,Δ0⇔直线与椭圆相交⇔直线与椭圆有两个公共点;Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔直线与椭圆有且只有一个公共点;Δ0⇔直线与椭圆相离⇔直线与椭圆无公共点.3.弦长问题设直线l:y=kx+m交椭圆22xa+22yb=1(ab0)于点P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则|P1P2|=221212()()xxyy=22121212()[1()]yyxxxx=2212()(1)xxk=|x1-x2|·21k.同理可得|P1P2|=|y1-y2|·211k(k≠0).这里|x1-x2|,|y1-y2|的求法可利用根与系数的关系,常进行以下变形:|x1-x2|=21212()4xxxx;|y1-y2|=21212()4yyyy.4.“中点弦”问题若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.5.椭圆上到中心距离最远和最近的点设点O为坐标原点,点P(x,y)为椭圆22xa+22yb=1(ab0)上任意一点,则|PO|=22xy=22222()bxaxa=2222cxaba.因为-a≤x≤a,所以当x=0时,|PO|有最小值b,这时点P在短轴的端点B1或B2处;当x=±a时,|PO|有最大值a,这时点P在长轴的端点A1或A2处.6.焦半径的最值椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径,动点与长轴的端点重合时,焦半径取得最大值a+c(称为“远日”点)或最小值a-c(称为“近日”点).推导如下:设点P(x0,y0)为椭圆22xa+22yb=1(ab0)上任意一点,左焦点为F(-c,0),则|PF|=2200()xcy,由202xa+202yb=1,得20y=b2(1-202xa),将其代入|PF|=2200()xcy并化简得|PF|=cax0+a.所以,当点P(x0,y0)为长轴右端点(a,0)时,|PF|max=ca·a+a=a+c;当点P(x0,y0)为长轴左端点(-a,0)时,|PF|min=ca·(-a)+a=a-c.同理,设右焦点为F′(c,0),则|PF′|=a-cax0.所以,当点P(x0,y0)为长轴左端点(-a,0)时,|PF′|max=a+c;当点P(x0,y0)为长轴右端点(a,0)时,|PF′|min=a-c.其中|PF|=a+cax0,|PF′|=a-cax0常称为椭圆的焦半径公式.自我检测1.直线y=x+1被椭圆24x+22y=1所截得的弦的中点坐标是()(A)(23,53)(B)(43,74)(C)(-23,13)(D)(-132,172)C解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,中点M(x0,y0),由221,142yxxy得3x2+4x-2=0.x0=122xx=12·(-43)=-23,y0=x0+1=13,所以中点坐标为(-23,13).故选C.2.过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB的长为()(A)67(B)167(C)716(D)76B解析:椭圆可化为24x+22y=1,所以F(-2,0),又因为直线AB的斜率为3,所以直线AB为y=3x+6,由2236,24yxxy得7x2+122x+8=0,所以|AB|=221212(1)[()4]kxxxx=167.故选B.3.过椭圆C:24x+23y=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A,B两点,则1AF+1BF等于()(A)43(B)34(C)35(D)53A解析:由已知得F(-1,0),直线l:y=3(x+1).联立223(1),1,43yxxy可得A(0,3),B(-85,335),所以|AF|=2,|BF|=65,所以1AF+1BF=43,故选A.答案:bc4.AB为过椭圆22xa+22yb=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB面积的最大值为.5.直线y=x+2与椭圆2xm+23y=1有两个公共点,则m的取值范围是.解析:由221,32xymyx得(m+3)x2+4mx+m=0.又因为直线与椭圆有两个公共点,所以Δ=(4m)2-4m(m+3)=16m2-4m2-12m=12m2-12m0,解得m1或m0.又因为m0且m≠3,所以m1且m≠3.答案:(1,3)∪(3,+∞)题型一直线与椭圆的位置关系课堂探究【例1】对不同的实数m,讨论直线y=x+m与椭圆24x+y2=1的位置关系.解:联立方程组22,1.4yxmxy①②将①代入②得24x+(x+m)2=1,整理得5x2+8mx+4m2-4=0.③Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).当Δ0,即-5m5时,方程③有两个不同的实数根,代入①可得两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交;当Δ=0,即m=±5时,方程③有两个相等的实数根,代入①得一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切;Δ0,即m-5或m5时,方程③无实数根,直线与椭圆相离.方法技巧判断直线与椭圆的交点情况一般要联立方程组,消去x(或y),转化为关于y(或x)的一元二次方程,利用判别式求解.即时训练1-1:若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆25x+2ym=1总有公共点,求m的取值范围.解:法一由椭圆的焦点在x轴上,知0m5.又因为直线与椭圆总有公共点,所以直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上,所以205+21m≤1,即m≥1,故m的取值范围是m∈[1,5).法二由椭圆方程及椭圆焦点在x轴上,知0m5.由221,15ykxxym得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.又直线与椭圆有公共点,所以上述方程的判别式Δ≥0对一切k都成立,即(10k)2-4(m+5k2)×5(1-m)≥0,亦即5k2≥1-m对一切k都成立,所以1-m≤0,即m≥1.故m的取值范围是[1,5).题型二直线与椭圆相交弦长的求法【例2】(10分)已知斜率为1的直线l过椭圆24x+y2=1的右焦点F,交椭圆于A,B两点,求|AB|.规范解答:设A(x1,y1),B(x2,y2),由椭圆方程可知,右焦点F(3,0).因为直线斜率为1,所以可设直线l的方程为y=x+m.…………………………………2分因为直线过点F(3,0),所以0=3+m,所以m=-3,所以直线方程为y=x-3.(*)……………………………………………………………4分把(*)代入24x+y2=1并整理得5x2-83x+8=0,…………………………………………6分所以x1+x2=835,x1x2=85.8分所以|AB|=221212()()xxyy=2·212()xx=2·21212()4xxxx=85.…10分变式探究:将本例中的“直线l过椭圆24x+y2=1的右焦点F”改为“直线l过椭圆24x+28y=1的下焦点F”,其他条件不变,求|AB|.解:设A,B坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由椭圆方程知a2=8,b2=4,所以c=22ab=2,所以椭圆的下焦点F的坐标为(0,-2),所以直线l的方程为y=x-2.将其代入24x+28y=1,化简整理得3x2-4x-4=0,所以x1+x2=43,x1x2=-43,所以|AB|=221212()()xxyy=2122()xx=212122()4xxxx=2×244()4()33=823.易错警示有关直线与椭圆相交弦的问题,主要思路是联立直线和椭圆的方程,得到一元二次方程,然后借助一元二次方程的有关知识解决,有时运用弦长公式,解题时应注意以下几点:(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.(3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.即时训练2-1:已知斜率为2的直线经过椭圆25x+24y=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,求弦AB的长.解:因为直线l过椭圆25x+24y=1的右焦点F1(1,0),又直线的斜率为2,所以直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.法一由方程组22220,1,54xyxy得交点A(0,-2),B(53,43).|AB|=22()()ABABxxyy=2254(0)(2)33=1259=553.法二设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标为方程组22220,154xyxy的解.消去y得3x2-5x=0,则x1+x2=53,x1·x2=0.所以|AB|=221212()()xxyy=2212()(1)ABxxk=221212(1)[()4]ABkxxxx=225(12)[()40]3=553.法三设A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组22220,1,54xyxy消去x得3y2+2y-8=0,则y1+y2=-23,y1y2=-83,所以|AB|=221212()()xxyy=21221()(1)AByyk=2121221(1)[()4]AByyyyk=2128(1)[()4()]433=553.中点弦问题题型三【例3】过椭圆216x+24y=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求此弦所在的直线方程.解:法一设所求直线方程为y-1=k(x-2).代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,于是x1+x2=228(2)41kkk.又M为AB的中点,所以122xx=224(2)41kkk=2,解得k=-12.故所求直线的方程为x+2y-4=0.法二设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).又M(2,1)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B两点在椭圆上,则21x+421y=16,22x+422y=16.两式相减得(21x-22x)+4(21y-22y)=0.于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.所以1212yyxx=-12124()xxyy=-12,即kAB=-12.又直线AB过M(2,1),故所求直线的方程为y-1=-12(x-2)即x+2y-4=0.法三设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于AB中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y).因为A,B两点在椭圆上,所以有x2+4y2=16,①(4-x)2+4(2-y)2=16.②①-②,得x+2y-4=0.由于过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.方法技巧本题的这三种解法,是解中点弦问题的常用方法,解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件,灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系,法一是设出方程,根据中点坐标求出k,法二、三是设出交点坐标,代入方程,整体作差求直线方程(也叫点差法),是“设而不求”.即时训练3-