2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程课件 新

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程课标要求:1.了解曲线与方程的对应关系.2.进一步感受数形结合的基本思想.3.掌握求曲线方程的基本方法(直接法),了解求曲线方程的其他方法(待定系数法、定义法、参数法等).自主学习1.曲线的方程与方程的曲线一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(a)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(b)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线知识探究注意:(1)一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也可看成满足某种条件的点的轨迹方程.(2)①定义中的关系(a)说明曲线上的任意一点的坐标都满足方程而毫无例外,即曲线具有纯粹性(或方程具有完备性);②定义中的关系(b)说明适合方程的所有点都在曲线上而毫无遗漏,即曲线具有完备性(或方程具有纯粹性);③定义中的关系(a)、(b)缺一不可,缺少任意一个都不能称“曲线的方程”和“方程的曲线”.(3)曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系,而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.(4)“曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的必要不充分条件;“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的必要不充分条件.(5)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.它可用于判定点是否在曲线上:如果点的坐标满足曲线方程,则说明点在曲线上,否则说明点不在曲线上.2.求曲线的方程求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的平面直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)把方程f(x,y)=0化为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简记为:建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明.注意:(1)在步骤(1)中,如果题目中没有确定平面直角坐标系,应首先建立适当的平面直角坐标系,坐标系建立得当,所得方程也较为简单.(2)步骤(2)是求方程的重要一步,应仔细分析曲线特征,找到隐含条件,抓住与曲线上任意点M有关的等量关系,列出等式.(3)步骤(3)是将几何条件转化为代数方程,在这个过程中常用到一些基本公式,如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式等.(4)步骤(4)是方程的化简,注意化简过程中运算的合理性与准确性,尽量避免“漏解”和“增解”.(5)对于步骤(5)中的“限制说明”,从理论上讲是必要的,但实际上常被省略掉.如遇特殊情况,可适当予以说明.例如,某些点的坐标虽然适合方程,但不在曲线上,那么可通过限制方程中x,y的取值予以剔除.(6)在第(1)步中,如果原题中没有确定坐标系,应首先建立适当的坐标系,坐标系建立得当,所得方程也较为简单.在实际解题过程中,建立坐标系时,应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素,遵循“垂直性”和“对称性”的原则,从而使解题更加简化.自我检测C1.方程x2+xy=x表示的曲线是()(A)一个点(B)一条直线(C)两条直线(D)一个点和一条直线解析:由x2+xy=x,得x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0.由此知方程x2+xy=x表示两条直线.故选C.2.方程(x+y-1)224xy=0所表示的曲线是()D解析:原方程等价于2210,4xyxy或x2+y2=4,其中当x+y-1=0时,需x2+y2≥4.它表示直线x+y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分及圆x2+y2=4.故选D.3.设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下列命题正确的是()(A)坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上(B)曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0(C)坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上(D)一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0D4.已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),B(x0,y0),则y0=220x+1.又M为AB的中点,所以000,21,2xxyy即002,21,xxyy将其代入y0=220x+1得,2y+1=2(2x)2+1,即y=4x2.答案:y=4x25.设A,B两点的坐标分别是(-a,0),(a,0),若动点M满足kMA·kMB=-1,则动点M的轨迹方程是.答案:x2+y2=a2(x≠±a)解析:设M(x,y).由kMA·kMB=-1得yxa·yxa=-1(x≠±a),即x2+y2=a2(x≠±a).题型一曲线的方程与方程的曲线课堂探究【例1】(1)“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(1)解析:判断曲线与方程的关系,关键是要说明定义中的两个条件是否都成立.根据曲线方程的概念,“曲线C的方程是f(x,y)=0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x,y)=0的解”和“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义.本例仅包含其中一个条件成立.故选B.(2)解:①不正确.因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线,即l1:y=x和l2:y=-x.直线l1上的点的坐标都是方程y=x的解,而直线l2上的点(除原点外)的坐标都不是方程y=x的解.这显然与曲线和方程关系中的条件(1),即“曲线上点的坐标都是方程的解”不相符.②不正确.根据题意可知,动点C的轨迹是以线段AB为直径的圆(但要除去A,B两点),因此,尽管动点C的坐标都满足方程x2+y2=1,但以方程x2+y2=1的解为坐标的点不都在动点C的轨迹上.(2)判断下列命题是否正确,并说明原因.①到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=x;②已知A,B两点的坐标分别为(-1,0)和(1,0),则满足∠ACB=90°的动点C的轨迹方程为x2+y2=1.方法技巧解决此类问题要从两方面入手:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.解析:(1)“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”但“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点”不一定在曲线C上,故A,C,D都不正确.故选B.答案:(1)B即时训练1-1:(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是真命题,下列命题中正确的是()(A)方程f(x,y)=0表示的曲线是C(B)方程f(x,y)=0表示的曲线不一定是C(C)f(x,y)=0是曲线C的方程(D)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上(2)若曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a)(a∈R),则k的取值范围为.解析:(2)因为曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a),所以a2+a2+2a+k=0.所以k=-2a2-2a=-2(a+12)2+12.所以k≤12,所以k的取值范围是(-∞,12].答案:(2)(-∞,12]题型二由方程研究曲线【例2】(1)方程(x+y-2)·229xy=0表示的曲线是()(A)一个圆和一条直线(B)半个圆和一条直线(C)一个圆和两条射线(D)一个圆和一条线段解析:(1)(x+y-2)·229xy=0变形为x2+y2-9=0或2220,90.xyxy表示以原点为圆心,3为半径的圆和直线x+y-2=0在圆x2+y2-9=0外面的两条射线.故选C.(2)如图所示,方程y=2xx表示的曲线是()解析:(2)因为y=2xx=1,0,1,0,xxxx所以函数值恒为正,且在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.故选B.变式探究:若把本例(1)中的方程改为(x+y-1)·1x=0,又表示什么曲线?解:由方程(x+y-1)1x=0可得10,10xxy或10,10,xx即x+y-1=0(x≥1)或x=1.故方程表示一条射线x+y-1=0(x≥1)和一条直线x=1.判断方程表示什么曲线,常需对方程进行变形,如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式,然后根据化简后的特点判断.特别注意,方程变形前后应保持等价,否则,变形后的方程表示的曲线不是原方程表示的曲线.另外,当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思想.误区警示即时训练2-1:(1)方程(x+y-1)·(3x-1)=0表示的是()(A)两条互相垂直的直线(B)两条射线(C)一条直线和一条射线(D)一个点(2,-1)解析:(1)因为(x+y-1)·(3x-1)=0,所以可得10,30,xyx或3x-1=0,也就是x+y-1=0(x≥3)或x=4.故方程表示一条射线和一条直线.故选C.(2)方程1x·lg(x2+y2-1)=0所表示的曲线是()(2)原方程等价于1x=0或lg(x2+y2-1)=0.所以x=1或x2+y2-1=1,即x=1或x2+y2=2.另外,要使方程有意义,必须x-1≥0且x2+y21,即x≥1,且当x=1时y≠0,故选D.求曲线的方程题型三【例3】(1)已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆C的弦OP,则OP中点Q的轨迹方程为;解析:(1)法一(直接法)如图,因为Q是OP的中点,所以∠OQC=90°.设Q(x,y),由题意,得|OQ|2+|QC|2=|OC|2,即x2+y2+[x2+(y-3)2]=9,所以x2+(y-32)2=94(去掉原点).法二(定义法)如图所示,因为Q是OP的中点所以∠OQC=90°,则Q在以OC为直径的圆上,故Q点的轨迹方程为x2+(y-32)2=94(去掉原点).答案:(1)x2+(y-32)2=94(去原点)(2)已知长为1+2的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且AP=22PB,则点P的轨迹C的方程为.解析:(2)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),则AP=(x-x0,y),PB=(-x,y0-y),因为AP=22PB,所以x-x0=-22x,y=22(y0-y),得x0=(1+22)x,y0=(1+2)y.因为|AB|=1+2,即20x+20y=(1+2)2,所以[(1+22)x]2+[(1+2)y]2=(1+2)2,化简得22x+y2=1.所以点P的轨迹C的方程为22x+y2=1.答案:(2)22x+y2=1直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法,对于此类问题,在解题过程中,最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围,一定要慎重分析和高度重视.易错警示即时训练3-1:(1)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a,c,b成等差数列,acb,|AB|=2,则顶点C的轨迹方程为;解析:(1)以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点,建立直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),因为a,c,b成等差数列,所以a+b=2c,即|AC|+|BC|=2|AB|=4,故22(1)xy+22(1)xy=4,化简整理得3x2+4y2=12.由于ab,即22(1)xy22(1)xy,解不等式得x0,又C不能在x轴上,所以x≠-2,所以3x2+4y2=12(-2x0)是所求的轨迹方程.答案: