2019年高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第二课时 数列求和习题课课件 新人教A

第二课时数列求和习题课课标要求:1.通过具体实例,理解并掌握数列的分组求和法.2.通过具体实例,理解并掌握数列的裂项求和法.3.通过具体实例,理解并掌握数列求和的错位相减法.自主学习知识探究1.等差数列的前n项和公式Sn==na1+.2.等比数列的前n项和公式Sn=11,1,,1.1nnaqaaqqq111naqq12nnaa12nnd3.数列求和的常用方法(1)公式法:等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差(比)数列,再求解.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式①11nn=1n-11n;②12121nn=12(121n-121n);③11nn=1n-n.(4)倒序相加法:把数列分别正写和倒写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.4.一些常见数列的前n项和公式(1)1+2+3+4+…+n=12nn.(2)1+3+5+7+…+2n-1=n2.(3)2+4+6+8+…+2n=n(n+1).(4)12+22+…+n2=1216nnn.自我检测1.数列{an}的前n项和为Sn,若an=11nn,则S5等于()(A)1(B)56(C)16(D)130B解析:an=11nn=1n-11n,S5=11-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=56.故选B.B2.已知数列{an}的通项公式为an=2n+n,前n项和为Sn,则S6等于()(A)282(B)147(C)45(D)70解析:因为an=2n+n,所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+12nn.所以S6=27-2+672=147.故选B.3.数列{an}的通项公式是an=11nn,其前n项和为9,则n等于()B(A)9(B)99(C)10(D)100解析:因为an=11nn=1n-n,a1+a2+…+an=-(1-2+2-3+…+n-1n)=1n-1=9,所以n=99.4.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于.解析:由a1=1,an=an-1+12(n≥2),可知数列{an}是首项为1,公差为12的等差数列,故S9=9a1+9912×12=9+18=27.12答案:27解析:设Sn=12+232+352+…+1232nn+212nn,①则12Sn=212+332+452+…+232nn+1212nn,②①-②,得12Sn=12+222+322+…+22n-1212nn=12+12+212+…+112n-1212nn=12+1111222112n-1212nn=32-112n-1212nn=32-1232nn,所以Sn=3-232nn.5.12+34+58+716+…+212nn=.答案:3-232nn题型一分组求和课堂探究【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=n2-n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)n=1,2S1=2a1⇒a1=0,n≥2,2an=2Sn-2Sn-1=n2-n-[(n-1)2-(n-1)]=2n-2,⇒an=n-1,当n=1时,a1=1-1=0,所以an=n-1.解:(2)bn=122,21,1,22nnknknn(k∈N*),当n为偶数时,bn=212nn=12(1n-12n),Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=(20+22+…+2n-1)+12(12-14+14-16+…+1n-12n)=213n+42nn,当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=1213n+141nn+2n-1=1213n+141nn.综上Tn=121,2,342211,21341nnnnknnnkn(k∈N*).(2)设bn=22,211,22nanknknn(k∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.方法技巧分组转化法求和的常见类型:(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.注意某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论.,,nnbncn为奇数，为偶数即时训练1-1:已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)由题意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2)两式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an⇒an+1=3an(n≥2),所以当n≥2时,{an}是以3为公比的等比数列.因为a2=2S1+1=2a1+1=3,21aa=3,所以1nnaa=3,对任意正整数成立,{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以得an=3n-1.(2)设bn=log3an+1,求数列{an+bn}的前n项和Tn.解:(2)bn=log3an+1=log33n=n,所以an+bn=3n-1+n,Tn=(30+1)+(31+2)+(32+3)+…+(3n-2+n-1)+(3n-1+n)=(30+31+32+…+3n-2+3n-1)+(1+2+3+…+n-1+n)=1313n+12nn=2312nnn.题型二裂项求和【例2】设数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,数列{bn}满足bn=211lognna.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)n=1时,a1=S1=2,Sn=2n+1-2,所以Sn-1=2n-2(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=2n(n≥2),所以数列{an}的通项公式为an=2n.(2)求数列{bn}的前n项和Tn.解:(2)bn=211log2nn=11nn=1n-11n,Tn=1-12+12-13+…+1n-11n=1-11n=1nn.方法技巧裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常见的有:(1)形如an=1nnk型;(2)形如an=1nkn型;(3)形如an=2212nnn型.抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是等差数列,则11nnaa=1d(1na-11na),21nnaa=12d(1na-21na).即时训练2-1:已知数列{an}中,a1=1,an+1=2121nnan(n∈N*).(1)证明数列{21nan}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;证明:(1)由题设知121nan=21nan,且11a=1≠0,所以数列{21nan}是首项为1,公比为1的等比数列,所以21nan=1×1n-1=1,所以an=2n-1.证明:(2)因为11nnaa=12121nn=12(121n-121n)所以121aa+231aa+…+11nnaa=12[(1-13)+(13-15)+…+(121n-121n)]=12(1-121n)=12-142n12.(2)求证:121aa+231aa+…+11nnaa12.题型三错位相减法求和【例3】已知数列{an}中,a1=2,=+3.(1)求数列{an}的通项公式;112nna2nna解:(1)bn=2nna,则bn+1=112nna,由题bn+1=bn+3,则bn+1-bn=3,所以2nna是公差为3,首项为1的等差数列,所以2nna=1+3(n-1)=3n-2,所以an=(3n-2)·2n.(2)求数列{an}的前n项和.解:(2)设Sn=1·2+4·22+7·23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n,①则2Sn=1·22+4·23+7·24+…+(3n-5)·2n+(3n-2)·2n+1,②①-②得-Sn=2+3(22+23+…+2n)-(3n-2)·2n+1=2+3·2122121n-(3n-2)·2n+1=2+3(2n+1-4)-(3n-2)·2n+1=-10+(5-3n)·2n+1,所以Sn=10+(3n-5)·2n+1.方法技巧错位相减法求和:要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.即时训练3-1:已知数列{an}的前n项和Sn=(an-1),n∈N+.(1)证明:数列{an}为等比数列,并求{an}的通项公式;(1)证明:因为Sn=32(an-1),n∈N+,所以Sn+1=32(an+1-1),两式相减,得Sn+1-Sn=32(an+1-an),即an+1=32(an+1-an),所以an+1=3an,n∈N+,又S1=32(a1-1),即a1=32(a1-1),所以a1=3,所以{an}是首项为3,公比为3的等比数列,从而{an}的通项公式是an=3n,n∈N+.32(2)设bn=log3an,求数列{anbn}的前n项和.(2)解:由(1)知bn=log3an=n,设数列{anbn}的前n项和为Tn,则Tn=1×3+2×32+3×33+…+n·3n,3Tn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)·3n+n·3n+1,两式相减得-2Tn=1×3+1×32+1×33+…+1×3n-n·3n+1=32(3n-1)-n·3n+1,所以Tn=214n·3n+1+34.