2019年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第一课时 等比数列的概念与通项公式课件 新人教A

2.4等比数列第一课时等比数列的概念与通项公式课标要求:1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念,深化认识并能运用.2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题.3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.自主学习知识探究1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的等于同一常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的,公比通常用字母q表示(q≠0).等比数列的定义还可以用符号语言表述为:比公比在数列{an}中,1nnaa=q(q为常数,且q≠0)对任意n∈N*都成立,则数列{an}是等比数列.2.等比中项一般地,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项.若G是a与b的等比中项,则Ga=bG,所以G2=ab,即G=±ab.同号非零两数才有等比中项,等比中项有两个,它们互为相反数.3.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则这个等比数列的通项公式是an=(n∈N*,q≠0).a1qn-14.等比数列通项公式的推导方法一(归纳法):由等比数列的定义可知a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,…,归纳得an=a1qn-1.当n=1时,上面的等式两边均为a1,所以等式也成立.因此当n∈N*时,an=a1qn-1成立.方法二(累乘法):根据等比数列的定义,可得21aa=q,32aa=q,43aa=q,…,1nnaa=q.以上共有n-1个等式,两边分别相乘,得1naa=qn-1,所以an=a1qn-1,当n=1时该式也成立.因此当n∈N*时,an=a1qn-1.5.等比数列通项公式的变形应用因为{an}是等比数列,所以an=a1qn-1,am=a1qm-1,所以nmaa=qn-m,所以an=amqn-m.自我检测解析:a2=a1q=2,a5=a1q4=14,所以q3=18,所以q=12.故选D.1.等比数列{an}中,a2=2,a5=14,则公比q等于()(A)-12(B)-2(C)2(D)12D解析:设其等比中项为G,则G2=(2+3)(2-3)=1.所以G=±1.故选C.2.2+3和2-3的等比中项是()(A)1(B)-1(C)±1(D)2C解析:因为a2a10=225a,所以3aq·a3q7=2(a3q2)2,即q2=2,又q0,所以q=2,因为a3=1,所以a4=a3q=2,故选C.3.已知等比数列{an}的公比为正数,且a2a10=225a,a3=1,则a4等于()(A)12(B)22(C)2(D)2C解析:a4=a1q3=a1(-3)3=27,故a1=-1,a7=a1q6=-1×(-3)6=-729.答案:-7294.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7=.5.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.解析:设等比数列{an}的公比为q,q0,则a8=a6+2a4即为a4q4=a4q2+2a4,解得q2=2(负值舍去),又a2=1,所以a6=a2q4=4.答案:4题型一等比数列的通项公式及其应用课堂探究解:(1)因为341671,,aaqaaq所以31612,=8,aqaq①②由②①得q3=4,从而q=34,而a1q3=2,于是a1=32q=12,所以an=a1qn-1=2532n.【例1】在等比数列{an}中,(1)若a4=2,a7=8,求an;(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.解:(2)法一由已知可得42511253611218+=9,aaaqaqaaaqaq①②由②①得q=12,从而a1=32.又an=1,所以32×(12)n-1=1,即26-n=20,所以n=6.法二因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=12.由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.方法技巧等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1中含有四个量:首项a1,公比q,项数n和第n项an,只要知道其中的三个,就可以求出另一个.即时训练1-1:在等比数列{an}中,(1)已知a3=9,a6=243,求a9;解:(1)因为2315619,=243,aaqaaq①②所以②①得q3=27,所以a9=a6q3=243×27=6561.(2)已知a1=98,an=13,q=23,求n.解:(2)因为a1=98,an=13,q=23,所以13=98·(23)n-1,所以827=(23)n-1,解得n=4.题型二等比数列的判断与证明证明:(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=2nnSn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理,得nSn+1=2(n+1)Sn,所以11nSn=2nSn.11S=11a=1,故{nSn}是以1为首项,以2为公比的等比数列.【例2】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=2nnSn(n=1,2,3,…).证明:(1)数列{nSn}是等比数列;证明:(2)由(1)知11nSn=4·11nSn(n≥2),于是Sn+1=4(n+1)·11nSn=4an(n≥2).又因为a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1,满足上式,因此对于任意正整数n都有Sn+1=4an.(2)Sn+1=4an.方法技巧判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法:1nnaa=q(q是常数)或1nnaa=q(q是常数,n≥2)⇔{an}为等比数列.(2)等比中项法:21na=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列.(3)通项公式法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.解:因为Sn=3an+1,所以Sn+1=3an+1+1,所以Sn+1-Sn=an+1=(3an+1+1)-(3an+1)=3an+1-3an,所以2an+1=3an,又因为S1=a1=3a1+1,所以a1=-12≠0,所以an≠0,所以由1nnaa=32知{an}是等比数列.所以an=-12·(32)n-1.变式探究:本例中,将条件改为已知Sn=3an+1,如何证明{an}是等比数列,并求出通项公式?即时训练2-1:(1)已知a1=1,an+1=2Sn+1,试判断数列{an}是否为等比数列?并证明.解:(1)数列{an}是等比数列.证明:因为an+1=2Sn+1,所以an=2Sn-1+1(n≥2).两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),又a2=2S1+1=3,a1=1,所以a2=3a1.所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列.解:(2){an}不是等比数列.理由如下:当n=1时,a1=S1=p,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1,所以an=1(1),(1)(2),npnppn所以a1=p,a2=(p-1)p,a3=(p-1)p2.当p=1时,a2=a3=0;当p=0时,a1=0,此时数列{an}不是等比数列.当p≠0且p≠1时,21aa=p-1,32aa=p.因为p-1≠p,所以此时数列{an}也不是等比数列.综上可知数列{an}不是等比数列.(2)已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),判断数列{an}是不是等比数列,并说明理由.题型三等比中项的应用【例3】(1)已知等比数列{an}满足a2=4,a6=64,则a4等于()(A)-16(B)16(C)±16(D)32解析:(1)由等比中项得=a2a6=4×64=256,又a4=a2q20,则a4=16,故选B.解析:(2)由等差数列的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列得,(a1+2d)2=a1·(a1+8d),解得a1=d,所以1392410aaaaaa=11310313adad=1316dd=1316.故选D.(2)已知{an}是等差数列,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则1392410aaaaaa等于()(A)716(B)916(C)1116(D)1316方法技巧熟练掌握等差或等比数列的性质,尤其是等差中项、等比中项,要牢记等比中项有2个.解析:(1)由题意可得a3a5=24a=4(a4-1)⇒a4=2,所以q3=41aa=8⇒q=2,故a2=a1q=12,故选C.即时训练3-1:(1)已知等比数列{an}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2等于()(A)2(B)1(C)12(D)18(2)等差数列{an}的公差d≠0,且a3=0,若ak是a6与ak+6的等比中项,则k等于()(A)5(B)6(C)9(D)11解析:(2)等差数列{an}的公差d≠0,由a3=0得a2=-d,可得a1=a2-d=-2d,则an=a1+(n-1)d=(n-3)d,因为ak是a6与ak+6的等比中项,所以2ka=a6ak+6,即(k-3)2d2=3d·(k+3)d,由d不为0,可得k2-9k=0,解得k=9(0舍去),故选C.