2019年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质及应用课件 新人教A版必

第二课时等比数列的性质及应用课标要求:1.掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题.2.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题.3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题.自主学习知识探究1.等比数列的单调性已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则(1)当10,1aq或10,01aq时,等比数列{an}为递增数列;(2)当10,01aq或10,1aq时,等比数列{an}为递减数列;(3)当q=1时,等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0).(4)当q0时,等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项也同号,但是奇数项与偶数项异号).显然等比数列的单调性要比等差数列的单调性复杂得多.(3)若k+l=m+n=2p(k,l,m,n,p∈N*),则ak·al=am·an=2pa.2.等比数列常见性质若{an}是等比数列,公比是q,则(1)an=a1qn-1=a2qn-2=…=(nm,n,m∈N*);(2)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am(nm,n,m∈N*).amqn-man-m+1(4)若m,p,n(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,ap,an成等比数列.(5)数列{λan}(λ≠0),{1na},{2na}都是等比数列,且公比分别是q,1q,q2.(6)若{bn}是公比为p的等比数列,则{anbn}与{nnab}也都是等比数列,公比分别为pq和qp.自我检测1.已知{an},{bn}都是等比数列,那么()(A){an+bn},{an·bn}都一定是等比数列(B){an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列(C){an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列(D){an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列C解析:两个等比数列的对应项的和可能为0,即不一定为等比数列,但乘积仍是一个等比数列.故选C.解析:把a1a2a3,a2a3a4,…,a7a8a9各看成一个整体,由题意知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9分别是一个等比数列的第1项、第4项和第7项,这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项.因为数列{an}的各项均为正数,所以a4a5a6=123789()()aaaaaa=510=52.故选A.2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于()(A)52(B)7(C)6(D)42A解析:lga3+lga4=lg(a3a4)=lg(a2a5)=lg10=1.答案:13.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则lga3+lga4=.解析:因为b1=21aa=a2,b2=32aa,所以a3=b2a2=b1b2,因为b3=43aa,所以a4=b1b2b3,…,an=b1b2b3·…·bn-1,所以a21=b1b2b3·…·b20=(b10b11)10=210=1024.4.已知数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=1nnaa,若b10·b11=2,则a21=.答案:1024题型一等比数列性质的应用课堂探究解析:(1)由等比数列的性质得a1a13+227a=327a=4π,27a=4π3,则tan(a2a12)=tan(4π3)=tanπ3=3.【例1】(1)已知数列{an}为等比数列,且a1a13+227a=4π,则tan(a2a12)=.答案:(1)3(2)在等比数列{an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于.解析:(2)由于{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=27a,所以a1a2a3…a13=(27a)6·a7=137a,而a7=-2.所以a1a2a3…a13=(-2)13=-213.答案:(2)-213方法技巧运用等比数列性质,am·an=ak·al=2ta(m,n,k,l,t∈N*)的关键是发现各项的序号之间满足关系m+n=k+l=2t,它们往往涉及其中的四项或三项,注意不要和等差数列相应的性质相混淆.即时训练1-1:公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10等于()(A)4(B)5(C)6(D)7解析:因为a3a11=16,所以27a=16.又因为等比数列{an}的各项都是正数,所以a7=4.又因为a10=a7q3=4×23=25,所以log2a10=5.故选B.题型二巧设“对称项”解等比数列问题解:法一设这四个数依次为a-d,a,a+d,2()ada(a≠0),由条件得2()16,()12,adadaaad解得4,4,ad或9,6.ad所以当a=4,d=4时,所求四个数分别为0,4,8,16;当a=9,d=-6时,所求四个数分别为15,9,3,1.故所求四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.【例2】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.法二设这四个数依次为2aq-a,aq,a,aq(a≠0),由条件得216,12,aaaqqaaq解得2,8,qa或1,33.qa所以当q=2,a=8时,所求四个数分别为0,4,8,16;当q=13,a=3时,所求四个数分别为15,9,3,1.故所求四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.法三设这四个数依次为x,y,12-y,16-x,由已知得22(12),(12)(16).yxyyyx解得0,4,xy或15,9.xy故所求四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.方法技巧等比数列的“对称设项”方法(1)当项数n为奇数时,先设中间一个数为a,再以公比为q向两边对称地依次设项即可,如三个数成等比数列,可设为aq,a,aq.(2)当项数n为偶数且公比大于0时,先设中间两个数为aq和aq,再以公比为q2向两边对称地依次设项即可,如四个数成等比数列,可设为3aq,aq,aq,aq3,六个数成等比数列可设为5aq,3aq,aq,aq,aq3,aq5.解:法一设这三个数为aq,a,aq,则512,2(2)(2),aaaqqaaaqq解得8,2aq或8,1.2aq所以所求三个数依次为4,8,16或16,8,4.即时训练2-1:三个数成等比数列,其积为512.若第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.法二设成等差数列的三个数为a-d,a,a+d,则要求的三个数为a-d+2,a,a+d+2,则2(2)(2),(2)(2)512.adadaadaad解得8,6ad或8,6.ad所以所求三个数依次为4,8,16或16,8,4.题型三等比数列与等差数列的综合问题【例3】已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3,4S2=S4.(1)求数列{an}的通项公式;(1)解:设数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意,得1113,4(2)46.adadad解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(2)求证:数列{2na}是等比数列;(3)求使得Sn+22Sn成立的n的集合.(2)证明:依题意,得122nnaa=212322nn=4,所以数列{2na}是首项为2,公比为4的等比数列.(3)解:由a1=1,d=2,an=2n-1,得Sn=n2,所以Sn+22Sn⇒(n+2)22n2⇒(n-2)28.所以n=1,2,3,4,故n的集合为{1,2,3,4}.方法技巧求解等差、等比数列综合的问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数列的基本量a1,d或b1,q的作用,并用好方程这一工具.(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.即时训练3-1:设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n.(1)求a3,a4;(1)解:因为a1=S1=2a1-2,所以a1=2,S1=2.因为Sn=2an-2n,所以2an=Sn+2n,所以2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,所以an+1=Sn+2n+1,所以a2=S1+22=2+22=6,所以S2=2+6=8,所以a3=S2+23=8+23=16,所以S3=2+6+16=24,所以a4=S3+24=40.(2)证明:法一由(1)知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以an+2-2an+1=(Sn+1+2n+2)-(Sn+1+2n+1)=2n+1,所以21122nnnnaaaa=2,所以数列{an+1-2an}是首项为a2-2a1=2,公比为2的等比数列.法二由Sn=2an-2n得Sn+1=2an+1-2n+1,所以Sn+1-Sn=an+1=2an+1-2n+1-2an+2n,即an+1-2an=2n,同理得Sn+2-Sn+1=an+2=2an+2-2n+2-2an+1+2n+1,即an+2-2an+1=2n+1,所以21122nnnnaaaa=2,所以数列{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列.(2)求证{an+1-2an}是等比数列;(3)解:法一由(2)知an+1-2an=2n,则有an-2an-1=2n-1,an-1-2an-2=2n-2,…,a2-2a1=21,即2an-4an-1=2n,4an-1-8an-2=2n,…,2n-1a2-2na1=2n,上述共(n-1)个式子相加得2an-2na1=(n-1)2n,因为a1=2,所以an=(n+1)2n-1.法二由(2)知an+1-2an=2n,等号两端同时除以2n+1,得112nna-2nna=12,所以数列{2nna}是以12a=1为首项,12为公差的等差数列,所以2nna=1+12(n-1)=12n+12,即an=(n+1)·2n-1.(3)求{an}的通项公式.