2019年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念与通项公式课件 新人教A

2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课标要求:1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念,深化认识并能运用.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.自主学习知识探究1.等差数列的定义(1)一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.(2)由等差数列的定义知,等差数列{an}满足a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数.因此,等差数列的定义可用数学符号语言描述为an-an-1=d对任意的n≥2,n∈N*均成立,故an+1-an=d对任意的n∈N*均成立,上述两式通常作为判断数列是否为等差数列的依据.2前一项公差2.对等差数列定义的理解(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.(2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件.(3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.3.等差中项的定义由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.事实上,若a,A,b成等差数列,即A=2ab,则A就是a与b的等差中项;若A=2ab,即A-a=b-A,则a,A,b成等差数列.在等差数列{an}中,任取相邻的三项an-1,an,an+1(n≥2,n∈N*),则an是an-1与an+1的等差中项.反之,若an-1+an+1=2an对任意的n≥2,n∈N*均成立,则数列{an}是等差数列.因此,数列{an}是等差数列⇔2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*),用此结论可判断所给数列是否为等差数列,称为等差中项法.4.等差数列的通项公式以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an=.5.等差数列通项公式的推导通项公式的推导,教材是根据等差数列的定义,通过归纳的方式得出的,还可以采用以下的推导方法:法一(累加法)因为{an}是等差数列,所以an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,…a2-a1=d,两边分别相加得an-a1=(n-1)d,所以an=a1+(n-1)d.a1+(n-1)d法二(迭代法){an}是等差数列,则有an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.法三(逐差法){an}是等差数列,则an=an-an-1+an-1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+an-2=…=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.6.等差数列通项公式的变形应用已知等差数列{an}中的任意两项an,am(n,m∈N*,m≠n),则11(1),(1)nmaandaamd⇒an-am=(n-m)d⇒,().nmnmaadnmaanmd这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.自我检测1.下列说法中正确的是()(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数列就叫等差数列(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列(C)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和都等于常数,这个数列就叫等差数列(D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列D解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起;②差为同一个常数,故选D.2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差d等于()(A)14(B)12(C)2(D)-12A解析:在等差数列{an}中,由a4+a8=10,得2a6=10,a6=5.又a10=6,则d=106106aa=654=14.故选A.3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为()(A)6斤(B)9斤(C)9.5斤(D)12斤A解析:由题意,金箠的每一尺的重量依次成等差数列,从细的一端开始,第一段重2斤,第五段重4斤,由等差中项知,第三段重3斤,第二段加第四段重3×2=6斤.故选A.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则112,38,adad解得d=3,a1=-1.所以an=a1+(n-1)d=3n-4.答案:3n-44.等差数列{an}中,a2=2,a4=8,则通项公式an=.5.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=.解析:设{an}的公差为d,首项为a1,由题意得11111124105,3599,aadadadadad解得139,2,ad所以a20=a1+19d=1.答案:1题型一等差数列的通项公式课堂探究【例1】已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.解:法一设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由题意得11148,5920,adad解得164,154.15ad故a75=a1+74d=6415+74×415=24.法二因为a60=a15+(60-15)d,所以d=2086015=415,所以a75=a60+(75-60)d=20+15×415=24.法三由数列{an}是等差数列,可设an=kn+b.由a15=8,a60=20得158,6020,kbkb解得4,154,kb所以a75=75×415+4=24.方法技巧求等差数列的通项公式的两种思路(1)设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通项公式.(2)已知等差数列中的两项时,利用an=am+(n-m)d求出公差d就可绕过求首项a1,直接写出等差数列的通项公式.注意:对于等差数列的通项公式,最终结果一般写成关于n的一次函数的形式.即时训练1-1:在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28.求数列{an}的通项公式.解:法一设{an}的首项为a1,公差为d,则由a3+a8+a13=12,得a1+7d=4,所以a1=4-7d.代入a3a8a13=28,并整理得(4-5d)×4×(4+5d)=28,即d=±35.当d=35时,a1=-15,an=35n-45;当d=-35时,a1=415,an=-35n+445.法二因为a3+a8+a13=3a8=12,所以a8=4,a3a8a13=(a8-5d)a8(a8+5d)=28,所以16-25d2=7,所以d=±35.当d=35时,an=a8+(n-8)d=35n-45;当d=-35时,an=-35n+445.题型二等差数列的判定与证明【例2】已知数列{an}满足a1=4,an=4-14na(n1),记bn=12na.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(1)证明:法一因为bn+1-bn=112na-12na=14(4)2na-12na=2(2)nnaa-12na=22(2)nnaa=12.b1=112a=12,所以数列{bn}是首项为12,公差为12的等差数列.法二(等差中项法)因为bn=12na,所以bn+1=112na=14(4)2na=2(2)nnaa.所以bn+2=112(2)nnaa=4442(42)nnaa=12nnaa.所以bn+bn+2-2bn+1=12na+12nnaa-2×2(2)nnaa=0.所以bn+bn+2=2bn+1(n∈N*),所以数列{bn}是等差数列.(2)解:由(1)知bn=12+(n-1)×12=12n.因为bn=12na,所以an=1nb+2=2n+2.(2)求数列{an}的通项公式.方法技巧判断或证明一个数列{an}为等差数列的常用方法:(1)定义法:若an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.(2)等差中项法:若任意连续三项an-1,an,an+1都有:2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.(3)通项公式法:若an=kn+b(k,b为常数,n∈N*),则数列{an}是等差数列.即时训练2-1:已知数列{an},满足a1=2,an+1=22nnaa.(1)数列{1na}是否为等差数列?说明理由;解:(1)数列{1na}是等差数列,理由如下:因为a1=2,an+1=22nnaa,所以11na=22nnaa=12+1na.所以11na-1na=12.即{1na}是首项为11a=12,公差为d=12的等差数列.(2)求an.解:(2)由上述可知1na=11a+(n-1)d=2n,所以an=2n.题型三等差中项的应用解:设这三个数分别为a-d,a,a+d,则有2229,()()35,adaadadaad解得3,2.ad所以所求数列为1,3,5或5,3,1.【例3】一个等差数列由三个数组成,三个数的和为9,三个数的平方和为35,求这个数列.方法技巧三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,法一:可设出首项a1和公差d,列方程组求解.法二:采用对称的设法,三个数时,设为a-d,a,a+d;四个数时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,由题意可知,(3)()()(3)26,()()40,adadadadadad即22426,40,aad解得13,232ad或13,23,2ad故所求数列为2,5,8,11或11,8,5,2.变式探究:若将题中的三个数改为四个数成等差数列,且四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个数列.