2019年高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课标要求:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.掌握数量积公式,理解其几何意义及投影的定义.3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律,并能运用这些性质和运算律解决有关问题.自主学习1.向量数量积的定义(1)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则把数量________________叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=________________________.(2)规定,零向量与任一向量的数量积均为_______.探究1:对于两个非零向量a与b,夹角为θ,其数量积a·b何时为正数?何时为负数?何时为零?提示:当0°≤θ90°时,a·b0;当90°θ≤180°时,a·b0;当θ=90°时,a·b=0.知识探究︱a︱︱b︱cosθ︱a︱︱b︱cosθ02.向量数量积的几何意义(1)投影的概念在a·b=︱a︱︱b︱cosθ中,︱a︱cosθ(︱b︱cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影,如图所示.(2)数量积的几何意义数量积a·b等于向量a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影︱b︱cosθ的乘积.3.向量数量积的性质设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.(1)a⊥b⇔_____________;(2)当a与b同向时,a·b=________________,当a与b反向时,a·b=_________________;a·b=0︱a︱︱b︱-︱a︱︱b︱(3)a·a=______或︱a︱=aa=2a;(4)cosθ=abab;提示:a,b夹角为锐角⇒a·b0,a,b夹角为钝角⇒a·b0,但是反过来不成立,如a·b0,则a,b夹角为锐角或0°角,a·b0,则a与b的夹角范围为（π2,π］.(5)︱a·b︱_______︱a︱︱b︱.探究2:两个向量的数量积大于0,夹角一定是锐角吗?两个向量的数量积小于0,两个向量的夹角一定是钝角吗?a2≤4.向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ,则(1)a·b=__________;(2)(λa)·b=_____________=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.注意:a·b=a·cb=c,因为a·b=a·c⇔a·(b-c)=0⇔a⊥(b-c),此时不一定有b=c.【拓展延伸】对于数量积的进一步理解:(1)投影是一个数量而不是向量.b·aλ(a·b)(2)b在a方向上的投影为︱b︱cosθ=aba,具体情况可以借助下表分析:θ的范围θ=0°0°θ90°θ=90°90°θ180°θ=180°图形b在a方向上的投影的正负正正0负负(3)由a·b=︱a︱︱b︱cosθ可得,当θ为锐角时,a·b0且a·b≠︱a︱︱b︱;当θ为钝角时,a·b0且a·b≠-︱a︱︱b︱;当θ=0°时,a·b=︱a︱︱b︱;当θ=180°时,a·b=-︱a︱︱b︱;当θ=90°时,a·b=0.自我检测BD1.若︱m︱=4,︱n︱=6,m与n的夹角θ为45°,则m·n等于()(A)12(B)122(C)-122(D)-122.已知︱a︱=1,︱b︱=2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角是()(A)60°(B)30°(C)135°(D)45°3.已知︱b︱=3,a在b方向上的投影是32,则a·b为.答案:924.已知平行四边形ABCD中,AC=3,BD=2,则AB·AD=.解析:▱ABCD中,AC=AB+AD,DB=AB-AD,所以︱AB+AD︱=3,︱AB-AD︱=2,所以(AB+AD)2-(AB-AD)2=5,所以AB·AD=54.答案:54题型一数量积的基本运算课堂探究【例1】已知︱a︱=4,︱b︱=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为30°时,分别求a与b的数量积.解:(1)a∥b,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,a·b=︱a︱·︱b︱·cos0°=4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos180°=4×5×(-1)=-20.(2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos90°=0.(3)当a与b的夹角为30°时,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos30°=4×5×32=103.解:因为a与b的夹角为120°,︱a︱=4,︱b︱=5,所以a·b=4×5×（-12）=-10,所以(2a-b)·(3a+2b)=6a2+4a·b-3a·b-2b2=6︱a︱2+a·b-2︱b︱2=6×16-10-2×25=36.变式探究:把(3)中的a与b的夹角改为120°,试求(2a-b)·(3a+2b).方法技巧求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];(2)分别求︱a︱和︱b︱;(3)求数量积,即a·b=︱a︱︱b︱cosθ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.解:(1)因为向量a与b的夹角为π3.︱a︱=4,︱b︱=5,所以a·b=4×5×12=10.①(a+b)2=︱a︱2+2a·b+︱b︱2=61.即时训练1-1:(1)已知︱a︱=4,︱b︱=5,向量a与b的夹角为π3,求①(a+b)2;②a2-b2;③(2a+3b)·(3a-2b);②a2-b2=︱a︱2-︱b︱2=-9.③(2a+3b)·(3a-2b)=6︱a︱2+5a·b-6︱b︱2=-4.解:(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a),所以a·b+b·c+c·a=2222)()2abcabc（=22203142（）=-13.(2)若向量a+b+c=0,且︱a︱=3,︱b︱=1,︱c︱=4,求a·b+b·c+c·a的值.题型二求向量的模【例2】(1)已知向量a,b满足a·b=0,︱a︱=1,︱b︱=1,则︱a-3b︱=.解析:(1)因为a·b=0,︱a︱=1,︱b︱=1,所以︱a-3b︱=2(3)ab=2269aabb=22191=10.答案:(1)10(2)已知向量a与b夹角为45°,且︱a︱=1,︱2a+b︱=10,则︱b︱=.解析:(2)因为︱2a+b︱=10,所以(2a+b)2=10,所以4a2+4a·b+b2=10,又因为向量a与b的夹角为45°且︱a︱=1,所以4×12+4×1×︱b︱×22+︱b︱2=10,整理得︱b︱2+22︱b︱-6=0,解得︱b︱=2或︱b︱=-32(舍去).答案:(2)2方法技巧(1)要求几个向量线性运算后的模,可先求其平方,利用数量积的计算易解.(2)已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模,可把条件平方后化为所求目标的方程求解.即时训练2-1:(1)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足︱c-a-b︱=1,则︱c︱的取值范围是()(A)[2-1,2+1](B)[2-1,2+2](C)[1,2+1](D)[1,2+2]解析:(1)因为a,b是单位向量,所以︱a︱=︱b︱=1.又︱c-a-b︱2=c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1,所以2c·(a+b)=c2+1.因为︱a︱=︱b︱=1,且a·b=0,所以︱a+b︱=2,所以c2+1=22︱c︱cosθ(θ是c与a+b的夹角).又-1≤cosθ≤1,所以0c2+1≤22︱c︱,所以c2-22︱c︱+1≤0.根据二次函数y=x2-22x+1的图象.可得2-1≤︱c︱≤2+1.故选A.答案:(1)A(2)已知非零向量a=2b+2c,︱b︱=︱c︱=1,若a与b的夹角为π3,则︱a︱=.解析:(2)由于c=12a-b,所以c2=14︱a︱2+︱b︱2-2×12︱a︱︱b︱×12=1,整理得︱a︱2-2︱a︱=0,所以︱a︱=2或︱a︱=0(舍去).答案:(2)2两向量的垂直与夹角题型三【例3】(1)若︱a︱=1,︱b︱=2,c=a+b且c⊥a,则向量a与b的夹角为()(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°解析:(1)由c⊥a,得a·c=0,又c=a+b,所以a·c=a·(a+b)=0,即a2+a·b=0.设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=abab=2aab=-12,所以θ=120°,即向量a与b的夹角为120°.故选C.答案:(1)C解析:(2)由︱a︱=3︱b︱,得ba=13.再由︱a︱=︱a+2b︱,两边平方可得,︱a︱2=︱a+2b︱2=︱a︱2+4︱b︱2+4a·b,整理得a·b=-︱b︱2.设a,b的夹角为θ,于是cosθ=abab=2bab=ba=-13.(2)若非零向量a,b满足︱a︱=3︱b︱=︱a+2b︱,则a与b夹角的余弦值为.答案:(2)-13方法技巧向量的垂直与夹角的范围(1)已知非零向量a,b,若a⊥b,则a·b=0,反之也成立.(2)设a与b夹角为θ,利用公式cosθ=abab可求夹角θ,求解时注意向量夹角θ的取值范围是[0,π].即时训练3-1:(1)已知向量a=（-12,32）,OA=a-b,OB=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为.(1)解析:由题意得,︱a︱=1,又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,所以OA⊥OB,︱OA︱=︱OB︱.由OA⊥OB得(a-b)·(a+b)=︱a︱2-︱b︱2=0,所以︱a︱=︱b︱,由︱OA︱=︱OB︱得︱a-b︱=︱a+b︱,所以a·b=0,︱a+b︱2=︱a︱2+︱b︱2=2,所以︱OB︱=︱OA︱=2,故S△OAB=12×2×2=1.答案:1(2)解:因为e1,e2为单位向量且夹角为60°,所以e1·e2=1×1×cos60°=12.因为a·b=(e1+e2)·(e2-2e1)=-2-e1·e2+1=-2-12+1=-32.︱a︱=2a=212()ee=11212=3,︱b︱=2b=221(2)ee=11442=3,所以cosθ=abab=-32×133=-12.因为θ∈[0°,180°],所以θ=120°.所以a与b的夹角为120°.(2)已知单位向量e1,e2的夹角为60°,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1的夹角.