您好,欢迎访问三七文档
第2讲椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质核心整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|);(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a|F1F2|);(3)抛物线:|MF|=d(d为M点到准线的距离且定点M在准线外).2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆:22xa+22yb=1(ab0)(焦点在x轴上)或22ya+22xb=1(ab0)(焦点在y轴上);(2)双曲线:22xa-22yb=1(a0,b0)(焦点在x轴上)或22ya-22xb=1(a0,b0)(焦点在y轴上);(1)椭圆:e=ca=221ba.(3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.(p0)3.圆锥曲线的几何性质(2)双曲线:①e=ca=221ba;②渐近线方程:y=±bax或y=±abx;(3)抛物线:设y2=2px(p0),F为其焦点,过点F的直线与抛物线交于C(x1,y1),D(x2,y2)两点.①焦半径|CF|=x1+2p;②弦长|CD|=x1+x2+p;③x1x2=24p,y1y2=-p2.【温馨提示】(1)求圆锥曲线的方程时,应“先定型、再定量”,若“型”不确定,则讨论.(2)双曲线定义中的条件“差的绝对值”,在运用定义解题时,要弄清是指整个双曲线还是双曲线的某一支.【归纳拓展】(1)椭圆的焦点三角形面积的最大值为bc,即以短轴端点与两焦点为顶点的三角形面积最大.(2)①设P点是椭圆22xa+22yb=1(a0,b0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2为焦点,记∠F1PF2=θ,则|PF1|·|PF2|=221cosb,12FPFS=22ab·|yP|=b2·tan2.②设P点是双曲线22xa-22yb=1(ab0)上异于实轴端点的任一点,F1,F2为焦点,记∠F1PF2=θ,则cosθ=1-2122bPFPF,12FPFS=22ab·|yP|=2tan2b.(3)通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于焦点所在对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通径长为,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c.(4)与椭圆22xa+22yb=1(ab0)共焦点的椭圆方程为22xak+22ybk=1(k-b2);有相同离心率的椭圆方程为22xa+22yb=λ1(λ10,焦点在x轴上)或22ya+22xb=λ2(λ20,焦点在y轴上).(5)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为x2-y2=λ(λ≠0),离心率e=2,渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分实轴和虚轴所成的角.(7)双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴的长b.(6)与双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)共渐近线的双曲线方程为22xa-22yb=λ(a0,b0,λ0时,焦点在x轴上,λ0时,焦点在y轴上),双曲线22xa-22yb=λ(λ≠0)的渐近线方程为y=±bax.核心突破考点一圆锥曲线的定义及其应用【例1】(2018·嘉兴模拟)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-25,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为()(A)225x+25y=1(B)236x+216y=1(C)230x+210y=1(D)245x+225y=1解析:设椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(ab0),焦距为2c,右焦点为F′,连接PF′,如图所示.因为F(-25,0)为C的左焦点,所以c=25.由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠FPF′=90°,即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=22FFPF=22454=8.由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(25)2=16,所以椭圆C的方程为236x+216y=1.故选B.方法技巧解有关焦半径的问题常考虑利用定义求解,对于抛物线,常将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互“转换”.解有关焦点三角形问题常考虑利用定义及余弦定理求解,若求其面积,可先求出两焦半径的积|PF1|·|PF2|,再整体代入即可.【题组训练】1.(2017·天津卷)已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()(A)24x-24y=1(B)28x-28y=1(C)24x-28y=1(D)28x-24y=1B解析:由题意可得ca=2,即c=2a.又左焦点F(-c,0),P(0,4),则直线PF的方程为040y=0xcc,化简即得y=4cx+4.结合已知条件和图象易知直线PF与y=bax平行.则4c=ba,即4a=bc.故2222,4,,caabcabc解得228,8,ab故双曲线方程为28x-28y=1.故选B.2.(2018·宁波模拟)已知双曲线22xa-y2=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为233,P为双曲线右支上一点,且满足|PF1|2-|PF2|2=415,则△PF1F2的周长为()(A)25(B)25+2(C)25+4(D)23+4C解析:因为双曲线22xa-y2=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为233,所以21aa=233,可得a=3,c=2,|PF1|-|PF2|=2a=23,①|PF1|2-|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=2a(|PF1|+|PF2|)=23(|PF1|+|PF2|)=415,|PF1|+|PF2|=25,②由①②得|PF1|=5+3,|PF2|=5-3,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+25.解析:由y2=8x可得F(2,0),FM的斜率一定存在,设为k,则直线FM的方程为y=k(x-2),令x=0可得N(0,-2k),又M为FN中点,所以M(1,-k),代入y2=8x得k2=8,所以|FN|=2222k=244k=36=6.3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案:64.已知圆E:x2+(y-12)2=94,经过椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点F1,F2,且与椭圆C在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,则该椭圆的方程为.解析:因为x2+(y-12)2=94,当y=0时,x=±2,所以F1(-2,0),F2(2,0),因为E(0,12),所以直线EF1的方程为0102y=202x,所以y=24x+12,联立2221,4219,24yxxy所以2,1,xy所以A(2,1),2a=|AF1|+|AF2|=4,所以a=2,所以b2=2,所以椭圆方程为24x+22y=1.答案:24x+22y=1考点二定义法求圆锥曲线的轨迹方程【例2】已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.解析:设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+1,|MC2|=r+3,所以|MC2|-|MC1|=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数,且小于|C1C2|,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支,其中a=1,c=3,所以b2=8.故点M的轨迹方程为x2-28y=1(x≤-1).答案:x2-28y=1(x≤-1)方法技巧利用定义法求圆锥曲线的轨迹方程的关键是判断出动点到两定点(焦点)的距离和(或差的绝对值)是定值,或动点到定点(焦点)的距离等于它到定直线(准线)的距离.【题组训练】1.已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为()D(A)212x+211y=1(B)236x-235y=1(C)23x-22y=1(D)23x+22y=1解析:由题意得|PA|=|PB|,所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=23|AF|=2,所以P点轨迹是以A,F为焦点的椭圆,a=3,c=1,所以b=2,所以动点P的轨迹方程为23x+22y=1,故选D.2.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆24y+23x=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为()(A)2(B)3(C)4(D)5D解析:因为椭圆方程为24y+23x=1,所以焦点坐标为B(0,-1)和B′(0,1),连接PB′,AB′,根据椭圆的定义,得|PB|+|PB′|=2a=4,可得|PB|=4-|PB′|,因此|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB′|)=4+(|PA|-|PB′|).因为|PA|-|PB′|≤|AB′|,所以|PA|+|PB|≤4+|AB′|=4+1=5.当且仅当点P在AB′延长线上时,等号成立.综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.考点三圆锥曲线的几何性质【例3】(1)(2018·绍兴模拟)如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围为;解析:(1)抛物线的准线l:直线x=-2,焦点F(2,0),由抛物线定义可得|AF|=xA+2,圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,所以△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB,由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,所以xB∈(2,6),所以6+xB∈(8,12),即△FAB的周长的取值范围为(8,12)答案:(1)(8,12)解析:(2)因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.因为离心率e=12,所以c=1,b=22ac=3,则椭圆方程为24x+23y=1,所以A点的坐标为(-2,0),F点的坐标为(-1,0).设P(x,y),则AP·FP=(x+2,y)·(x+1,y)=x2+3x+2+y2.由椭圆方程得y2=3-34x2,所以AP·FP=x2+3x-34x2+5=14(x+6)2-4,因为x∈[-2,2],所以AP·FP∈[0,12].(2)已知椭圆22xa+22yb=1(ab0)的左顶点为A,左焦点为F,点P为该椭圆上任意一点;若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=12,则AP·FP的取值范围是.答案:(2)[0,12]方法技巧解决圆锥曲线几何性质有关问题时,要注意利用图形形象、直观的特点,数形结合来解决问题.当方程不是标准形式时,需先化为标准形式.【题组训练】1.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-23y=1的渐近线的距离是()(A)1(B)12(C)3(D)32解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),双曲线x2-23y=1的一条渐近线为x-3y=0,3x-y=0,所以所求距离为32.故选D.D2.已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|1PF+2PF|的最小值是()(A)0(B)1(C)2(D)22C解析:设P(x0,y0),则1PF=(-1-x0,-y0),2PF=(1-x0,-y0),所以1PF+2PF=(-2x0,-2y0),所以|1PF+2PF|=220044xy=2220022yy=2202y.因为点P在椭圆上,所以0≤20y≤1,所以当20y=1时,|1PF+2PF|取最小值2.故选C.3.若抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB
本文标题:2019年高考数学二轮复习 专题五 直线与圆、圆锥曲线 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质课件
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8252668 .html