2019年高考数学二轮复习 专题三 立体几何与空间向量 第3讲 空间中的角和距离课件 新人教A版

第3讲空间中的角和距离核心整合1.异面直线的夹角(1)定义:对于异面直线a和b,在空间任取一点P,过P分别作a和b的平行线a1和b1,我们把a1和b1所成的锐角或者直角叫做异面直线a和b所成的角.(2)异面直线的夹角范围:(0°,90°]【温馨提示】在几何体中,求异面直线所成的角时我们往往是把两条异面直线平移到一个顶点处,放在三角形中进行求解,而在三角形中求出来的角有可能是钝角,这时我们还要转化成它的补角.2.直线与平面所成的角(1)定义:把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角.直线l⊥α时,我们称l与α所成的角为90°.(2)直线和平面所成的角的范围为[0°,90°].3.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)范围为[0°,180°].(3)二面角的平面角的作法①根据定义作棱的垂面与二面角的两个半平面分别交得两条射线所成的角.②过棱上任意一点在两个半平面内分别作这条棱的垂线,从而构成二面角的平面角.③过一个面内一点分别作另一个面的垂线和棱的垂线,连接两垂足后构成二面角的平面角.4.点到直线的距离和点到平面的距离(1)点到直线的距离①直接作直线的垂线;②求点P到平面α内的直线a的距离:第一步:过P作PQ⊥α交平面α于点Q,第二步:在α内过Q作QR⊥a,垂足为R;第三步:连接PR,则PR即为点P到直线a的距离.(2)点到平面的距离①直接作平面的垂线;②要作垂线,先作垂面;③等体积法(等积法).5.空间向量解决平行、垂直、角度、距离等问题(1)空间向量与平行关系①直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量,一条直线的方向向量有无数个.②平面的法向量直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.③空间中平行关系的向量表示a.线线平行设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),且a2b2c2≠0,则l∥m⇔a∥b⇔a=λb⇔12aa=12bb=12cc(a2b2c2≠0).b.线面平行设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α的法向量为u=(a2,b2,c2),则l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.c.面面平行设平面α,β的法向量分别为u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则α∥β⇔u∥v⇔u=λv⇔12aa=12bb=12cc(a2b2c2≠0).(2)空间向量与垂直关系①空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b=(b1,b2,b3),则l⊥m⇔a⊥b设直线l的方向向量是a=(a1,b1,c1),平面α的法向量u=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔a∥u若平面α的法向量u=(a1,b1,c1),平面β的法向量为v=(a2,b2,c2),则α⊥β⇔u⊥v②空间中垂直关系的证明方法线线垂直线面垂直面面垂直证明两直线的方向向量的数量积为0证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量证明两个平面的法向量垂直证明两直线所成角为直角证明直线与平面内的两相交直线垂直证明二面角的平面角为直角③空间向量与空间角空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cosθ=︱cosa,b︱=abab（0,π2）直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sinθ=︱cosa,n︱=anan［0,π2］二面角设二面角α-l-β的平面角为θ,平面α,β的法向量为n1,n2,则︱cosθ︱=︱cosn1,n2︱=1212nnnn[0,π]核心突破考点一异面直线所成的角【例1】(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()(A)15(B)56(C)55(D)22解析:法一如图,连接BD1,交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,AD1=221AD+DD=2,DM=221AD+AB2=52,DB1=2221AB+AD+DD=5,所以OM=12AD1=1,OD=12DB1=52,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD=222551225212=55,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55,故选C.法二如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由题意,得A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,3),B1(1,1,3),所以1AD=(-1,0,3),1DB=(1,1,3),所以1AD·1DB=-1×1+0×1+(3)2=2,︱1AD︱=2,︱1DB︱=5,所以cos1AD,1DB=1111ADDBADDB=225=55.故选C.1.直三棱柱ABC-A1B1C1,所有棱长都相等,M是A1C1的中点,N是BB1的中点,则AM与NC1所成角的余弦值为()(A)23(B)35(C)53(B)45B解析:由于直三棱柱的所有棱长都相等,不妨设直三棱柱的棱长为2,取AC的中点E,连接C1E,NE,则C1E∥AM,C1E=AM=2211AA+AM=41=5,NE=222BNABAE=141=2,C1N=22111BC+NB=41=5,C1E与C1N所成的锐角即为AM与NC1所成的角,在△NEC1中,由余弦定理得,cos∠NC1E=22211112CNCENECNCE=554255=35,所以AM与NC1所成角的余弦值为35.故选B.2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在A1C上运动(包括端点),则BP与AD1所成角的取值范围是()(A)［π4,π3］(B)［π4,π2］(C)［π6,π2］(D)［π6,π3］D解析:如图所示,以D为原点,直线DA为x轴,直线DC为y轴,直线DD1为z轴,建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),则1AD=(-2,0,2).设1AP=λ1AC=λ(-2,2,-2)=(-2λ,2λ,-2λ)(λ∈［0,1]),则点P(2-2λ,2λ,2-2λ),则BP=(-2λ,2λ-2,2-2λ).设直线BP与AD1所成角为θ(θ∈(0,π2］),则cosθ=11BPADBPAD=2(2,2222)(202)1216822，，，=222342.而3λ2-4λ+2=3(λ-23)2+23∈［23,2］,所以222342∈［12,32］,所以cosθ∈［12,32］,所以θ∈［π6,π3］.故选D.考点二直线与平面所成的角【例2】(2017·浙江卷)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(1)证明:如图,设PA的中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA的中点,所以EF∥AD且EF=12AD,又因为BC∥AD,BC=12AD,所以EF∥BC且EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF,因为BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,所以CE∥平面PAB.(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.(2)解:分别取BC,AD的中点为M,N.连接PN交EF于点Q,连接MQ,BN.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF的中点,在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,BC∥AD,BC=12AD,N是AD的中点得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN,由BC∥AD得BC⊥平面PBN,则平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在△PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14,在Rt△MQH中,QH=14,MQ=2,所以sin∠QMH=28.所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.方法技巧证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行;②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题(1)就是利用方法①证明的.另外,(1)也可先证面面平行,再得线面平行,(2)也可利用空间向量求解线面角.【题组训练】1.(2017·嘉兴一模)如图,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足DE=3EC,点P在棱AC上运动,设EP与平面BCD所成角为θ,则sinθ的最大值为.解析:取CD的中点H,连AH,BH,由三棱锥的各棱长相等易知∠AHB为二面角A-CD-B的平面角,易得sin∠AHB=223,而EP与平面BCD所成角θ≤∠AHB,故sinθ≤223.答案:2232.在等腰直角三角形ABD中,∠BAD=90°,且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直,E为BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为.解析:取BD的中点F,连接EF,AF,如图,易得AF⊥BD,AF⊥平面BCD,则∠AEF就是AE与平面BCD所成的角,由题意知EF=12CD=12BD=AF,所以∠AEF=45°,即AE与平面BCD所成的角为45°.答案:45°考点三二面角【例3】(2017·嘉兴一模)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB=1,AC=3,BC=BB1=2.(1)求证:AC⊥平面ABB1A1;(1)证明:因为在底面ABCD中,AB=1,AC=,BC=2,所以AB⊥AC,因为侧棱AA1⊥底面ABCD,所以AA1⊥AC,又因为AA1∩AB=A,AA1,AB⊆平面ABB1A1,所以AC⊥平面ABB1A1.(2)求二面角A-C1D-C的平面角的余弦值.(2)解:过点C作CP⊥C1D于P,连接AP,由(1)可知,AC⊥平面DCC1D1;所以AC⊥C1D,所以C1D⊥平面ACP,∠CPA为二面角A-C1D-C的平面角,由于CC1=BB1=2,CD=AB=1,求得CP=255,AP=955,求得,cos∠CPA=21919,即二面角A-C1D-C的平面角的余弦值为21919.方法技巧解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,作出二面角的平面角进行三角形内的计算,也可以建立空间直角坐标系进行计算.总之,通过严密推理,明确角的构成.立体几何中角的计算问题,往往可以利用几何法、空间向量方法求解,应根据题目条件,灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.【题组训练】1.(2018·浙江卷)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则()(A)θ1≤θ2≤θ3(B)θ3≤θ2≤θ1(C)θ1≤θ3≤θ2(D)θ2≤θ3≤θ1D解析:由题意知四棱锥S-ABCD为正四棱锥,如图,连接BD,记AC∩BD=O,连接SO,SO⊥平面ABCD,取AB的中点M,连接SM,OM,OE,易得AB⊥SM,则θ2=∠SEO,θ3=∠SMO,易知θ3≥θ2.因为O