2019年高考数学二轮复习 专题三 立体几何与空间向量 第2讲 直线与平面的位置关系课件 新人教A版

第2讲直线与平面的位置关系核心整合1.空间中点、线、面的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β交点个数000相交关系图形语言相交关系符号语言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l交点个数11无数个其他关系图形语言符号语言a,b是异面直线a⊂α交点个数0无数个【归纳拓展】点共线问题证明,只需证明这些点都在两个不同的平面内,即在两平面的交线上.线共点问题证明,先证明两直线相交,再证明这个交点在其余直线上或者证明其余直线过这个点.2.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的_____与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⇒a∥b,,.lala,,=.aab∥交线【归纳拓展】判定定理:线线平行⇒线面平行.性质定理:线面平行⇒线线平行.3.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条__________与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线________⇒a∥b,,,,.abb∥∥,,.ab∥相交直线平行abP【温馨提示】(1)面面平行的判定中不要忽略“相交直线”这一条件.(2)如果一个平面内无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行.(3)注意从线线平行,到线面平行,到面面平行这些转化中的条件.4.直线与平面垂直判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的________________都垂直,则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线___________⇒a∥b,,,,.ablalb⊥⊥,.a⊥两条相交直线abO平行b⊥【归纳拓展】直线与平面所成的角:直线与直线在平面内的投影所成的角,直线与平面所成的角是直线与平面内的所有直线所成角中的最小角.5.平面与平面的垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_________,则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于_________的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α,.l,,,.垂线l⊥交线⊥lala⊥【归纳拓展】二面角的平面角:垂直于二面角的棱作一个平面与二面角的两个面分别交得两条射线所成的角叫二面角的平面角,二面角的大小由平面角来衡量,二面角的范围θ∈[0,π].核心突破考点一线面位置关系的判断【例1】设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()(A)若m∥n,m∥α,则n∥α(B)若α⊥β,m∥α,则m⊥β(C)若α⊥β,m⊥β,则m∥α(D)若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β解析:A.若m∥n,m∥α,则n∥α或者n⊆α;B.若α⊥β,m∥α,则m与β可能平行,可能相交,也可能在平面内.C.若α⊥β,m⊥β,则m∥α或者m⊆α;D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β,此命题正确.故选D.方法技巧解决这类空间点、线、面的位置关系问题,一般是借助长方体(或正方体),能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系.或者借助手中的纸、笔,甚至桌面做模型进行观察判断,这样得出结论的方法省时省力,不必从理论上去证明.【题组训练】B1.(2017·温州4月模拟考试)“平面α内的两条直线与平面β都平行”是“平面α与平面β平行”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若平面α内的两条直线与平面β都平行,则平面α与平面β平行或相交,充分性不成立;若平面α与平面β平行,则平面α内的任意一条直线都与平面β平行,必要性成立.故选B.(A)BE平行平面PAD,且直线BE到平面PAD距离为3(B)BE平行平面PAD,且直线BE到平面PAD距离为263(C)BE不平行平面PAD,且BE与平面PAD所成角大于π6(D)BE不平行平面PAD,且BE与平面PAD所成角小于π6D2.如图在棱长均为2的正四棱锥P-ABCD中,点E为PC的中点,则下列命题正确的是()解析:以正方形中心为原点,建立空间坐标系,x轴平行于AD,y轴平行于BA,z轴为OP,所以A(-1,1,0),D(1,1,0),P(0,0,2),B(-1,-1,0),E（12,-12,22）,直线BE的方向向量为m=（32,12,22）,平面ADP的法向量为n=(0,2,1),所以直线BE与平面PAD所成角θ满足sinθ=︱cos︱=mnmn=2312.所以θπ6.故选D.C3.(2017·温州2月模拟考试)已知空间两不同直线m,n,两不同平面α,β,下列命题正确的是()(A)若m∥α且n∥α,则m∥n(B)若m⊥β且m⊥n,则n∥β(C)若m⊥α且m∥β,则α⊥β(D)若m不垂直于α,且n⊂α,则m不垂直于n解析:由空间两不同直线m,n,两不同平面α,β,知:在A中,若m∥α且n∥α,则m与n相交、平行或异面,故A错误;在B中,若m⊥β且m⊥n,则n∥β或n⊂β,故B错误;在C中,若m⊥α且m∥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故C正确;在D中,若m不垂直于α,且n⊂α,则m可以垂直于n,故D错误.故选C.考点二线面平行关系的判定及性质【例2】(2017·江苏卷)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)AD⊥AC.证明:(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.方法技巧平行关系的两个判定都是低维度向高维度的递进,即可由线线平行推线面平行,又由两个线面平行推面面平行,线面平行与面面平行相互依存,统一和谐.【题组训练】1.(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;证明:(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明:(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.已知两正方形ABCD与ABEF内的点M,N分别在对角线AC,FB上,AM∶MC=FN∶NB,沿AB折起,使得∠DAF=90°.(1)证明:折叠后MN∥平面CBE;(1)证明:如图,设直线AN与直线BE交于点H,连接CH,因为△ANF∽△HNB,所以FNNB=ANNH.又AMMC=FNNB,所以ANNH=AMMC,所以MN∥CH.又MN⊄平面CBE,CH⊂平面CBE,所以MN∥平面CBE.(2)若AM∶MC=2∶3,在线段AB上是否存在一点G,使平面MGN∥平面CBE?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.(2)解:存在,过M作MG⊥AB于点G,连接GN(图略),则MG∥BC,所以MG∥平面CBE,又MN∥平面CBE,MG∩MN=M,所以平面MGN∥平面CBE.所以点G在线段AB上,且AG∶GB=AM∶MC=2∶3.考点三线面垂直关系的判定及性质【例3】(2018·全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,又PF∩EF=E,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解:如图,作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,︱BF︱为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得PH=32,EH=32.则H(0,0,0),P(0,0,32),D(-1,-32,0),DP=(1,32,32),HP=(0,0,32).又HP为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=︱HPDPHPDP︱=343=34.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.方法技巧垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.【题组训练】1.如图所示,已知PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,点C是圆O上任意一点,过A作AE⊥PC于E,AF⊥PB于F,求证:(1)AE⊥平面PBC;证明:(1)因为AB是圆O的直径,所以∠ACB=90°,即AC⊥BC.因为PA垂直于圆O所在平面,即PA⊥平面ABC,而BC⊂平面ABC,所以BC⊥PA.又因为AC∩PA=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC,PC∩BC=C,PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC.(2)平面PAC⊥平面PBC;(3)PB⊥EF.证明:(2)由(1)知AE⊥平面PBC,且AE⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC,且PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB.又AF⊥PB于F,且AF∩AE=A,AF⊂平面AEF,AE⊂平面AEF,所以PB⊥平面AEF.又因为EF⊂平面AEF,所以PB⊥EF.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中点,O为底面正方形对角线B1D1与A1C1的交点.(1)求证:AC1⊥平面B1D1C;(1)证明:因为AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,因为A1C1⊥B1D1,且AA1∩A1C1=A1,AA1⊂平面AA1C1,A1C1⊂平面AA1C1,所以B1D1⊥平面AA1C1,因为AC1⊂平面AA1C1,所以B1D1⊥AC1.同理AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,B1D1⊂平面B1D1C,B1C⊂平面B1D1C,所以AC1⊥平面B1D1C.(2)过E构造一条线段与平面B1D1C垂直,并证明你的结论.(2)解:连接EO,则线段EO与平面B1D1C垂直.证明如下:因为E是AA1的中点,O是A1C1的中点,所以EO∥AC1.由(1)知AC1⊥平面B1D1C,所以EO⊥平面B1D1C.阅卷评析【典例】(14分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面梯形ABCD中,BC∥AD,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知AC=2AB=4,