2019版八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定

18.1.2平行四边形的判定第1课时【基础梳理】平行四边形的判定1.根据边:(1)两组对边_________的四边形是平行四边形.(2)一组对边___________的四边形是平行四边形.分别相等平行且相等2.根据角:两组对角_________的四边形是平行四边形.3.根据对角线:对角线_________的四边形是平行四边形.分别相等互相平分【自我诊断】(1)有两组角分别相等的四边形是平行四边形.()×(2)下面几组条件中,能判断一个四边形是平行四边形的是()A.一组对边相等B.两条对角线互相平分C.一组对边平行D.两条对角线互相垂直B(3)如图,四边形ABCD中,当∠1=∠2,且___∥___时,这个四边形是平行四边形.ADBC(4)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,请你添加一个条件,使得四边形ABCD成为平行四边形,你添加的条件是_________________________________________________________________.AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等知识点一平行四边形的判定【示范题1】已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F,试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.【备选例题】如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF.(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.【解题指南】(1)首先在Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又由△ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AB=2AF,然后证得△AFE≌△BCA,继而证得结论.(2)根据(1)知道EF=AC,而△ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证得四边形ADFE是平行四边形.【解析】(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴AB=2BC,又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴AB=2AF,∴AF=BC,在Rt△AFE和Rt△BCA中,∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL),∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD,∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°,又∵EF⊥AB,∴EF∥AD,∵AC=EF,AC=AD,∴EF=AD,∴四边形ADFE是平行四边形.【微点拨】判定平行四边形的方法选择已知条件证明思路一组对边相等1.证另一组对边也相等2.证这组对边平行一组对边平行1.证另一组对边也平行2.证这组对边相等一组对角相等证另一组对角也相等对角线相交证对角线互相平分知识点二平行四边形性质与判定的综合应用【示范题2】(2017·大庆中考)如图,以BC为底边的等腰△ABC,点D,E,G分别在BC,AB,AC上,且EG∥BC,DE∥AC,延长GE至点F,使得BE=BF.(1)求证:四边形BDEF为平行四边形.(2)当∠C=45°,BD=2时,求D,F两点间的距离.【思路点拨】(1)由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C,证出∠AEG=∠ABC=∠C,四边形CDEG是平行四边形,得出∠DEG=∠C,证出∠F=∠DEG,得出BF∥DE,即可得出结论.(2)证出△BDE,△BEF是等腰直角三角形,由勾股定理得出BF=BE=BD=,作FM⊥BD于点M,连接DF,则△BFM是等腰直角三角形,由勾股定理得出FM=BM=BF=1,得出DM=3,在Rt△DFM中,由勾股定理求出DF即可.22222【自主解答】(1)∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C,∵EG∥BC,DE∥AC,∴∠AEG=∠ABC=∠C,四边形CDEG是平行四边形,∴∠DEG=∠C,∵BE=BF,∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC,∴∠F=∠DEG,∴BF∥DE,∴四边形BDEF为平行四边形.(2)∵∠C=45°,∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°,∴△BDE,△BEF是等腰直角三角形,∴BF=BE=BD=,222作FM⊥DB的延长线于点M,连接DF,如图所示,则△BFM是等腰直角三角形,∴FM=BM=BF=1,∴DM=3,22在Rt△DFM中,由勾股定理得DF=,即D,F两点间的距离为.22131010【微点拨】从“两方面”正确理解平行四边形的性质和判定(1)类比法:将平行四边形的判定定理与性质定理加以类比,因为它们是互逆的,通过类比,使知识融汇贯通.(2)分类法:将定理按边、角、对角线分类,易于记忆和应用.【纠错园】已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,直线PQ截四边形ABCD为两个四边形.问当P,Q同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?【错因】由于考虑问题不全面,漏掉了AP=BQ的情况.