2019-2020学年新教材高中数学 习题课（一） 指数函数的性质与图像课件 新人教B版必修第二册

习题课提升关键能力指数函数的性质与图像高频考点一指数型函数的单调性[例1]已知函数f(x)＝13ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值为3，求a的值．[解](1)当a＝－1时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝13g(x)，由于f(x)的最大值为3，所以g(x)的最小值为－1，当a＝0时，f(x)＝13－4x＋3，无最大值；当a≠0时，有a＞0，3a－4a＝－1，解得a＝1，所以当f(x)的最大值为3时，a的值为1.[方法技巧](1)求形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的单调性的特点①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．②当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．(2)一般地，在复合函数y＝f(g(x))中，若函数u＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且函数y＝f(u)在区间(g(a)，g(b))或在区间(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在区间(a，b)上的单调性见下表：u＝g(x)增增减减y＝f(u)增减增减y＝f(g(x))增减减增由此可得，复合函数单调性的规律是：同增异减．[集训冲关]1．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图像，把图像沿y轴向下平移1个单位得到y＝2x－1的图像，再把y＝2x－1的图像在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变．如图，得到y＝|2x－1|的图像，由图可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，∴m∈(－∞，0]．答案：(－∞，0]2．解不等式a2x＋7＜a3x－2(a＞0且a≠1)．解：当a＞1时，a2x＋7＜a3x－2等价于2x＋7＜3x－2，∴x＞9；当0＜a＜1时，a2x＋7＜a3x－2等价于2x＋7＞3x－2，∴x＜9.综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞9}；当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜9}．高频考点二指数型函数的奇偶性[例2]设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数．求k的值．[解]法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1.当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，故k＝1符合题意．法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在定义域R上恒成立，∴k＝1，－1＝－k，解得k＝1.[方法技巧]指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[集训冲关]1．设f(x)＝12|x|，x∈R，则f(x)是()A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数解析：依题意，得f(－x)＝12|－x|＝12|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)＝12|x|＝12x，函数f(x)单调递减．故选D.答案：D2．已知a为正实数，且f(x)＝1a－1ax＋1是奇函数，则f(x)的值域为________．解析：由f(x)为奇函数可知f(0)＝0，即1a－1a0＋1＝0，解得a＝2，则f(x)＝12－12x＋1，故f(x)的值域为－12，12.答案：－12，123．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－12的解集是________．解析：设x＜0，则－x＞0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.当x＞0时，1－2－x∈(0,1)，所以不等式f(x)＜－12，即当x＜0时，2x－1＜－12，解得x＜－1.答案：(－∞，－1)高频考点三指数函数性质的综合应用[例3]已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．[解](1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b－12＋2＝0，解得b＝1.(2)由(1)知，f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1，设∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝12x1＋1－12x2＋1＝2x2－2x12x1＋12x2＋1.因为函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2，所以2x2－2x1＞0.又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因为f(x)是奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，则f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因为f(x)为减函数，由上式推得，t2－2t＞k－2t2，即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，从而判别式Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－13.故k的取值范围是－∞，－13.[方法技巧]指数函数性质综合问题的求解策略(1)若奇函数在原点处有定义，则f(0)＝0.(2)研究函数的单调性、奇偶性要树立定义域优先的原则．(3)解答此类问题时可依据所学的定理、定义逐一求解，从而达到各个击破的目的．[集训冲关]1．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝()A．2B.154C.174D．a2解析：由已知f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2，又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2.②由①②得g(2)＝2，f(2)＝a2－a－2，又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(2)＝22－2－2＝154.答案：B2．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝2x＋a2x，f(1)＝52.(1)求实数a的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)求函数f(x)在[－1,2]上的值域．解：(1)由题意得f(1)＝2＋a2＝52，∴a＝1.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋12x1－2x2＋12x2＝(2x1－2x2)＋2x2－2x12x1·2x2＝(2x1－2x2)2x1＋x2－12x1＋x2.∵0＜x1＜x2，∴1＜2x1＜2x2，2x1＋x2＞1，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)f(0)＝2，f(2)＝174，f(－1)＝f(1)＝52，f(x)在[－1,0]上为减函数，在[0,2]上为增函数，∴f(x)的值域为2，174.