2019-2020学年新教材高中数学 习题课（三） 统计与概率课件 新人教B版必修第二册

习题课提升关键能力统计与概率高频考点一用样本的频率分布估计总体分布[例1](1)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45(2)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是()[解析](1)由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.(2)由茎叶图知，各组频数统计如下表：分组区间[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]频数统计11424332上表对应的频率分布直方图为A.[答案](1)D(2)A[方法技巧](1)茎叶图与频率分布表的关系如下：频率分布表中的分组相当于,茎叶图的茎；频率分布表中指定区间组的频率相当于,茎上叶的数目．(2)频率分布直方图中计算用到的知识：①图中小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率．②所有小矩形的面积之和为1.[集训冲关]某地教育部门为了调查学生在数学考试中的有关信息，从上次参加考试的10000名考生中用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图所示)，则这10000人的数学成绩在[140,150](单位：分)段的约是________人．解析：设500人的数学成绩在[140,150]段的人数为x，10000人的数学成绩在[140,150]段的人数为n.由样本频率分布直方图知数学成绩在[140,150]段的频率是相应小矩形的面积，即0.008×10＝0.08＝x500，∴x＝40.又样本的个数占总体个数的120，即每组的抽样比为120，∴120＝40n，∴n＝800，因此10000人的数学成绩在[140,150]段的约是800人．答案：800高频考点二用样本的数字特征估计总体的数字特征[例2]某大学艺术专业的400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据按[20,30)，[30,40)，…，[80,90]分成7组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计总体的众数；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女学生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．[解](1)由频率分布直方图可估计总体的众数为70＋802＝75.(2)由频率分布直方图可知，样本中分数在区间[50,90)内的人数为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10×100＝90.因为样本中分数小于40的学生有5人，所以样本中分数在区间[40,50)内的人数为100－90－5＝5.设总体中分数在区间[40,50)内的人数为x，则5100＝x400，解得x＝20，故估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为20.(3)由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的人数为(0.04＋0.02)×10×100＝60.因为样本中分数不小于70的男女学生人数相等，所以样本中分数不小于70的男生人数为30.因为样本中有一半男生的分数不小于70，所以样本中男生的人数为60，女生的人数为40.由样本估计总体，得总体中男生和女生人数的比例约为3∶2.[方法技巧]通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计．(1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况．(2)若两组数据的平均数差别很大，也可以仅比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断．[集训冲关]1.空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI大于100的概率为25，估计此地该年AQI大于100的天数约为365×25＝146(天)．答案：1462．已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2＝14(x21＋x22＋x23＋x24－16)，则数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为____．解析：由方差公式s2＝14[(x1－x)2＋(x2－x)2＋(x3－x)2＋(x4－x)2]，得s2＝14(x21＋x22＋x23＋x24)－x2，又已知s2＝14(x21＋x22＋x23＋x24－16)＝14(x21＋x22＋x23＋x24)－4，所以x2＝4，所以x＝2，故14[(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋(x4＋2)]＝x＋2＝4.答案：4高频考点三古典概型[例3]柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率：(1)取出的鞋不成双；(2)取出的鞋都是左脚的；(3)取出的鞋都是同一只脚的；(4)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双．[解]用A1，A2；B1，B2；C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，则从6只鞋中取2只所有的取法有：A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共15种．(1)取出的鞋不成双的所有取法有：A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共12种．其概率为P1＝1215＝45.(2)取出的鞋都是左脚的所有取法有：A1B1，B1C1，A1C1，共3种．其概率为P2＝315＝15.(3)取出的鞋都是同一只脚的所有取法有：A1B1，B1C1，A1C1，A2B2，A2C2，B2C2，共6种．其概率为P3＝615＝25.(4)取出的鞋一只左脚的，一只右脚的但不成双的所有取法有：A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1，共6种．其概率为P4＝615＝25.[方法技巧]在古典概型中，计算概率的关键是准确找到基本事件的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把基本事件一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出基本事件的数目．[集训冲关]1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.答案：C2．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成几种可能有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215.高频考点四相对独立事件的概率[例4]某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．[解]设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝710.(1)∵A，B，C相互独立，∴恰有一名同学当选的概率为P(A·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－45×35×710＝83125.[方法技巧]求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A＋B)＝1－P(AB)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．[集训冲关]如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率．解：记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，B表示事件“电流能在M与N之间通过”．(1)A＝A1A2A3，A1，A2，A3相互独立，P(A)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝(1－p)3，又P(A)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.(2)B＝A4∪(A4A1A3)∪(A4A1A2A3)，P(B)＝P(A4)＋P(A4A1A3)＋P(A4A1A2A3)＝P(A4)＋P(A4)P(A1)P(A3)＋P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.