2019-2020学年新教材高中数学 习题课（二） 对数函数的性质与图像课件 新人教B版必修第二册

习题课提升关键能力对数函数的性质与图像高频考点一有关对数型函数的值域与最值问题[例1]已知函数f(x)＝log313x·log3(27x)，其中x∈19，3，求函数f(x)的值域．[解]f(x)＝log313x·log3(27x)＝(－1＋log3x)(3＋log3x)，x∈19，3，令t＝log3x，则t∈[－2,1]，令g(t)＝(－1＋t)(3＋t)＝t2＋2t－3＝(t＋1)2－4，当t＝－1时，g(t)取得最小值，g(t)min＝g(－1)＝－4；当t＝1时，g(t)取得最大值，g(t)max＝g(1)＝0，∴函数f(x)的值域为[－4,0]．[方法技巧](1)对数函数的值域为(－∞，＋∞)．(2)求形如y＝logaf(x)(a＞0且a≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y＝logau(a＞0，且a≠1)，u＝f(x)两个函数；③由定义域求u的取值范围；④利用函数y＝logau(a＞0且a≠1)的单调性求值域．同理可求y＝f(logax)(a＞0且a≠1)型复合函数的值域．[集训冲关]1．函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为________．解析：令u＝x2＋2x＋4，则u＝(x＋1)2＋3≥3，∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)2．函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．解析：①当a＞1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga42＝1，所以a＝2.②当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga24＝1，所以a＝12.由①②知a＝2或a＝12.答案：2或123．求下列函数的值域：(1)f(x)＝log2(3x＋1)；(2)f(x)＝log2x4×log2x2(1≤x≤4)．解：(1)f(x)的定义域为R.∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∵y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)＞log21＝0，∴f(x)的值域为(0，＋∞)．(2)∵f(x)＝log2x4×log2x2＝(log2x－2)·(log2x－1)＝log2x－322－14，又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，∴当log2x＝32，即x＝232＝22时，f(x)取最小值－14；当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值为2，∴函数f(x)的值域是－14，2.高频考点二解对数不等式[例2](1)已知loga12＞1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．[解](1)由loga12＞1得loga12＞logaa.①当a＞1时，有a＜12，此时无解；②当0＜a＜1时，有12＜a，从而12＜a＜1.∴a的取值范围是12，1.(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，得2x＞0，x－1＞0，2x＞x－1，解得x＞1.∴x的取值范围是(1，＋∞)．[方法技巧]常见对数不等式的2种解法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．[集训冲关]1．函数f(x)＝log2x，x＞0，log12－x，x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：当a＞0时，由f(a)＞f(－a)得log2a＞log12[－(－a)]，即log2a＞0，解得a＞1；当a＜0时，由f(a)＞f(－a)得log12(－a)＞log2(－a)，即log2(－a)＜0，解得0＜－a＜1，即－1＜a＜0.因此实数a的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)，故选C.答案：C2．设0＜a＜1，函数f(x)＝loga(2ax－2)，则使得f(x)＜0的x的取值范围为________．解析：由于y＝logax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上为减函数，则2ax－2＞1，即ax＞32.由于0＜a＜1，可得x＜loga32.答案：－∞，loga323．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．解：由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.当a＞1时，y＝logax是增函数，∴3a－1＞1，3a－1＞0，解得a＞23，∴a＞1；当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，∴3a－1＜1，3a－1＞0，解得13＜a＜23.∴13＜a＜23.综上所述，a的取值范围是13，23∪(1，＋∞)．高频考点三对数函数性质的综合应用[例3]已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0，a≠1.(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)当a＞1时，求使F(x)＞0成立的x的集合．[解](1)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，若要式子有意义，则x＋1＞0，1－x＞0，即－1＜x＜1，所以F(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}．(2)F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1,1)，且F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－F(x)，所以F(x)是奇函数．(3)F(x)＞0，即loga(x＋1)－loga(1－x)＞0，即loga(x＋1)＞loga(1－x)．当a＞1时，有x＋1＞0，1－x＞0，x＋1＞1－x，解得0＜x＜1.∴使F(x)＞0成立的x的集合为{x|0＜x＜1}．[方法技巧]解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数要注意的问题(1)要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需有g(x)0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需有x0.(2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中自变量的范围，再利用奇偶性的定义判断．[集训冲关]1．若函数f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为()A.43，3B.43，2C.43，2D.43，＋∞解析：由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需3m－2≥2，m＋2≤5，3m－2＜m＋2，解得43≤m＜2.答案：C2．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．解：(1)要使函数有意义，则有1－x＞0，x＋3＞0，解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，因为－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4.因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－14＝22.