2019-2020学年新教材高中数学 习题课 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 新人教A版必修第

习题课提升关键能力同角三角函数的基本关系与诱导公式高频考点一|三角函数的定义[例1](1)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点－35，45，则tanα的值为()A．－43B．－34C．－45D．－35[解析]由正切函数的定义可得，tanα＝45－35＝－43.[答案]A(2)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值等于()A．0B．－2C．2D．－2或2[解析]若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα＝22，cosα＝－22或sinα＝－22，cosα＝22，分别代入sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα可得其值为0.[答案]A[方法技巧](1)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，应先求r＝x2＋y2，然后根据三角函数定义求角α的三角函数值，即sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.(2)若角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．[集训冲关]1．若角α的终边上有一点(0，－1)，则tanα的值是()A．－1B．0C．1D．不存在解析：因为角α的终边上有一点(0，－1)，所以角的终边落在y轴的负半轴上，其正切值不存在．答案：D2．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于()A．12B．－12C．－32D．－33解析：∵角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，∴角α终边上一点的坐标为(1，－3)，故sinα＝－312＋－32＝－32.答案：C3．点A(x，y)在圆x2＋y2＝4上沿逆时针方向匀速旋转，每秒旋转ω弧度，已知1秒时，点A的坐标为(2,0)，则3秒时，点A的坐标为()A．(2cos2ω，2sin2ω)B．(2cosω，2sinω)C．(cos2ω，sin2ω)D．(4cosω，4sinω)解析：由1秒到3秒，点A旋转的角度为2ω，又|OA|＝2，所以点A的坐标为(2cos2ω，2sin2ω)．故选A.答案：A高频考点二|同角三角函数基本关系式的运用[例2]已知4sinθ－2cosθ3sinθ＋5cosθ＝611，求下列各式的值．(1)5cos2θsin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ.[解]∵4sinθ－2cosθ3sinθ＋5cosθ＝611，∴4tanθ－23tanθ＋5＝611，解得tanθ＝2.(1)原式＝5tan2θ＋2tanθ－3＝55＝1.(2)原式＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ－4tanθ＋3tan2θ＋1＝－15.[方法技巧]利用同角三角函数关系式常用的策略(1)公式变形①sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.②sinα＝cosα·tanαα≠kπ＋π2，k∈Z，cosα＝sinαtanαα≠kπ2，k∈Z.(2)已知正切求余弦的公式将sinα＝cosα·tanαα≠kπ＋π2，k∈Z代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α·tan2α＋cos2α＝1，因此cos2α＝11＋tan2αα≠kπ＋π2，k∈Z.(3)“同角”的含义“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．[集训冲关]1．下列各式中，与sin2α－cos2α相等的是()A．tan2α－1tan2α＋1B．tan2α＋1tan2α－1C．2cos2α－1D．1－2sin2α解析：sin2α－cos2α＝sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－1tan2α＋1.答案：A2．函数y＝1－sin2xcosx＋1－cos2xsinx的值域是()A．{0,2}B．{－2,0}C．{－2,0,2}D．{－2,2}解析：y＝|cosx|cosx＋|sinx|sinx.当x为第一象限角时，y＝2；当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二或第四象限角时，y＝0.故函数的值域为{－2,0,2}．答案：C高频考点|三诱导公式的应用[例3](1)化简：1＋cos100°sin170°cos370°＋1－sin2170°；(2)已知tanα＝2，求sinπ＋α－sinπ2＋αcos32π＋α＋cosπ－α.[解](1)原式＝1＋cos180°－80°sin90°＋80°cos360°＋10°＋1－sin2180°－10°＝1＋－cos80°cos80°cos10°＋1－sin210°＝1－cos280°2cos10°＝sin80°2cos10°＝cos10°2cos10°＝12.(2)因为tanα＝2，所以sinπ＋α－sinπ2＋αcos3π2＋α＋cosπ－α＝－sinα－cosαsinα－cosα＝－tanα－1tanα－1＝－3.[方法技巧]用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，k∈Z，π±α，π2±α，3π2±α或k·π2±α，k∈Z的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简．(2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．[集训冲关]1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝()A.355B.377C.31010D.13解析：利用诱导公式化简得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，根据α为锐角且sinαcosα＝3，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝31010.答案：C2．已知α∈π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sinα＋cosα的值是()A．±15B．15C．－15D．－75解析：由tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tanα＝－34＜0，且α∈π2，3π2，得π2＜α＜π，因此cosα＝－11＋tan2α＝－45，∴sinα＝tanαcosα＝35，从而sinα＋cosα＝－15，故选C.答案：C3．(2019·连云港调研)已知sinθ＝33，求cosπ2＋θsinπ－θcos3π2＋θ的值．解：因为sinθ＝33，所以cosπ2＋θsinπ－θcos3π2＋θ＝－sinθsinθsinθ＝－sinθ＝－33.