2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.5.2 全称量词命题与存在量词

集合与常用逻辑用语第一章1．5全称量词与存在量词1．5.2全称量词命题与存在量词命题的否定课前自主预习1．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系．2．能正确对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：；全称量词命题的否定是(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：；存在量词命题的否定是2．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．∃x∈M，綈p(x)存在量词命题．∀x∈M，綈p(x)全称量词命题．1．对于一个全称量词命题要否定它，需要考虑哪几个方面？[答案]两个方面：一是改量词，将全称量词改为存在量词，二是否定结论2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．()(2)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．()(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．()(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×课堂互动探究题型一全称量词命题的否定【典例1】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)等圆的面积相等；(3)每个三角形至少有两个锐角．[解](1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m0，即m－14时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．(1)对全称量词命题否定的两个步骤①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定．(2)全称量词命题否定后的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．[针对训练]1．写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)∀x∈R，|x|≥x；(3)∀x∈R＋，x为正数．[解](1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题．(2)原命题的否定为“∃x∈R，使|x|x”，这个命题是假命题．(3)原命题的否定为“∃x∈R＋，使x≤0”，这个命题是假命题.题型二存在量词命题的否定【典例2】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)有些三角形的三个内角都是60°；(3)∃x∈R，使得|x＋1|≤1.[解](1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除．(2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.(3)题中命题的否定为“∀x∈R，有|x＋1|1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|1.(1)对存在量词命题否定的两个步骤①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．(2)存在量词命题否定后的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．[针对训练]2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．(1)有的素数是偶数；(2)∃x∈R，使x2＋x＋140；(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.[解](1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．(2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋14≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋14＝x＋122≥0.(3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.课堂归纳小结1．写出一个含有量词的命题的否定，一般分二步：一是改量词，二是否结论.2.能够判断一个“命题的否定”的真假，注意到一个命题和命题的否定一真一假.