2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.1 充分条件与必要条件课件

集合与常用逻辑用语第一章1．4充分条件与必要条件1．4.1充分条件与必要条件课前自主预习1．理解充分、必要条件的概念．2．会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件．1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．充分必要温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．1．“对角线相等的平行四边形是矩形”(1)这个命题是真命题吗？(2)将命题改写为“若p，则q”的形式．(3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件．[答案](1)是真命题(2)若平行四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形(3)充分条件2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题．()(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．()(3)若q是p的必要条件，则由p推出的结论q是不唯一的．()(4)数学中每一条定理都给出了相应结论成立的一个充分条件．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×课堂互动探究题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解](1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x2，x3都是x0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x0，x5等都是x9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．[针对训练]1．将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分、必要条件的语言表述：(1)对顶角相等；(2)在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同．[解](1)若两个角是对顶角，则两个角相等，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件．(2)在平面直角坐标系中，若两点关于y轴对称，则这两个点的纵坐标相同，所以在平面直角坐标系中，“两点关于y轴对称”是“这两个点纵坐标相同”的充分条件；“两个点的纵坐标相同”是“这两点关于y轴对称”的必要条件.题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x1，q：x21；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引]判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解](1)由x1可以推出x21，因此p是q的充分条件；由x21，得x－1，或x1，不一定有x1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．[针对训练]2．判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．(1)p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；(2)设a，b是实数，p：“a＋b0”，q：“ab0”；(3)已知a，b为正实数，p：ab1，q：a2b20.[解析](1)当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件．(2)由a＋b0不一定能推出ab0，故p不是q的充分条件．(3)因为ab1⇒a2b20，所以p是q的充分条件．[答案](1)(3)3．在下列各题中，q是p的必要条件的是________．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．[解析](1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，∴q是p的必要条件．(2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等，∴q不是p的必要条件．(3)∵方程x2－x－m＝0无实根，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m0，解得m－14.∵m－2⇒m－14，∴q是p的必要条件．[答案](1)(3)题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】(1)已知p：关于x的不等式3－m2x3＋m2，q：0x3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．(2)已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．[思路导引]p是q的充分条件转化为对应集合A⊆集合B，q是p的必要条件转化为集合A⊆集合B.[解](1)记A＝x|3－m2x3＋m2，B＝{x|0x3}，若p是q的充分条件，则A⊆B.注意到B＝{x|0x3}≠∅，分两种情况讨论：①若A＝∅，即3－m2≥3＋m2，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意；②若A≠∅，即3－m23＋m2，解得m0，要使A⊆B，应有3－m2≥0，3＋m2≤3，m0，解得0m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．(2)由已知可得A＝y|y＝x－322－54，x∈R＝y|y≥－54，B＝{x|x≥－2m}．因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以－2m≤－54，所以m≥58，即m的取值范围是m|m≥58.[变式]本例(1)中若将“若p是q的充分条件”改为“p是q的必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]记A＝x|3－m2x3＋m2，B＝{x|0x3}，若p是q的必要条件，则B⊆A.应有3－m2≤0，3＋m2≥3，解得m≥3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p、q分别对应集合A、B，若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件．[针对训练]4．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值．[解]解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，令A＝{2，－3}，B＝－1m，∵q是p的充分条件，∴B⊆A.当－1m＝2时，m＝－12；当－1m＝－3时，m＝13.所以m＝－12或m＝13.课堂归纳小结1．能够将一个命题改写成“若p，则q”的形式，并能准确地用语言表述充分条件、必要条件．2．充分条件、必要条件的判断，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假，“若p，则q”为真命题，则p是q的充分条件，否则p不是q的充分条件．“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．3．掌握集合的包含关系与充分条件、必要条件的关系.