2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.3 集合的基本运算（第2课

第一章集合与常用逻辑用语第2课时全集、补集及综合应用第一章集合与常用逻辑用语考点学习目标核心素养全集、补集了解全集、补集的意义，正确理解符号∁UA的含义，会求已知全集条件下集合A的补集数学抽象、数学运算、直观想象集合交、并、补的综合运算会求解集合的交、并、补的集合问题数学运算、直观想象与补集相关的参数值(范围)的求解能正确利用补集的意义求解一些具体问题数学运算、直观想象问题导学预习教材P17倒数第4行－P19，思考以下问题：1．全集的含义是什么？2．补集的含义是什么？3．如何理解“∁UA”的含义？4．如何用维恩图表示∁UA?1．全集(1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的________，那么称这个给定的集合为全集．(2)记法：全集通常记作____．子集U■名师点拨全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题中涉及的所有元素．2．补集文字语言如果集合A是全集U的一个子集，则由________________的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作________符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言U中不属于A∁UA3.补集的性质(1)A∪(∁UA)＝____．(2)A∩(∁UA)＝____．(3)∁UU＝____，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝____．(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)．(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．U∅∅A■名师点拨∁UA的三层含义(1)∁UA表示一个集合．(2)A是U的子集，即A⊆U.(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数集问题的全集一定是R.()(2)集合∁BC与∁AC相等．()(3)A∩∁UA＝∅.()(4)一个集合的补集中一定含有元素．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则∁UM＝()A．{2，4，6}B．{1，3，5}C．{1，2，4}D．U解析：选A.因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以∁UM＝{2，4，6}．已知全集U＝R，区间P＝[－1，1]，那么∁UP＝()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选D.因为P＝[－1，1]，U＝R，所以∁UP＝∁RP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________．答案：5(1)若区间U＝[－2，2]，则A＝[－2，0]的补集∁UA为()A．(0，2)B．[0，2)C．(0，2]D．[0，2](2)设U＝{x|－5≤x－2，或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝________，∁UB＝________．补集的运算【解析】(1)借助数轴易得∁UA＝(0，2]．(2)法一：在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，所以∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．法二：可用维恩图表示则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．【答案】(1)C(2){－5，－4，3，4}{－5，－4，5}求集合补集的策略(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助维恩图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．若集合A＝{x|－1≤x1}，当S分别取下列集合时，求∁SA.(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示，由图知∁SA＝{x|x－1或x≥1}．(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示，由图知∁SA＝{x|x－1或1≤x≤2}．(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示，由图知∁SA＝{x|－4≤x－1或x＝1}．(1)(2019·长沙检测)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，P＝xx≤0或x≥52，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．集合交、并、补的综合运算【解】(1)选A.因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1，3，4，6，7}，所以∁UB＝{2，5，8}．又A＝{2，3，5，6}，所以A∩(∁UB)＝{2，5}．(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示，因为A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，所以A∩B＝{x|－1x2}，∁UB＝{x|x≤－1或x3}．又P＝xx≤0或x≥52，所以(∁UB)∪P＝xx≤0或x≥52.又∁UP＝x0x52，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1x2}∩x0x52＝{x|0x2}．1．(变问法)在本例(2)的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．解：画出数轴，如图所示，观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝x2≤x52.2．(变条件)将本例(2)中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(∁UB)．解：画出数轴，如图所示，观察数轴可知A∪(∁UB)＝{x|x2或3x≤5}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于维恩图来求解．(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．解：如图，因为A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，所以∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x－3或2x≤4}．所以A∩B＝{x|－2x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2x3}．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2x4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．与补集相关的参数值(范围)的求解【解】由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x－m}，因为B＝{x|－2x4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示，如图，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.(变条件)若将本例中的条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m－2，解得m2.所以m的取值范围是m2.由集合的补集求解参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．已知U＝R，区间A＝(－∞，－1)，B＝(2a，a＋3)，且B⊆∁RA，求实数a的取值范围．解：由题意得∁RA＝[－1，＋∞)，①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2aa＋3，即－12≤a3.综上可得，实数a的取值范围是－12，＋∞.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝()A．{1}B．{3，5}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5}解析：选C.由题意得，∁UP＝{2，4，6}，所以(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}．故选C.2．设全集U＝R，区间A＝(0，＋∞)，B＝(1，＋∞)，则A∩(∁UB)＝()A．[0，1)B．(0，1]C．(－∞，0)D．(1，＋∞)解析：选B.因为∁UB＝(－∞，1]，所以A∩(∁UB)＝(0，1]．3．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于()A．0或2B．0C．1或2D．2解析：选D.由题意，知a＝2，a2－2a＋3＝3，得a＝2.4．设全集为R，A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.解：把集合A，B在数轴上表示如图，由图知，A∪B＝{x|2x10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为∁RA＝{x|x3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2x3或7≤x10}．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放