2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数章末复习提升课课件 新人教A版必修第一册

章末复习提升课第五章三角函数已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）sin（π－α）cos（α＋2nπ）(n∈Z)．同角三角函数基本关系式和诱导公式【解】因为cos(π＋α)＝－12，所以－cosα＝－12，cosα＝12.又角α在第四象限，所以sinα＝－1－cos2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝32.(2)sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）sin（π－α）cos（α＋2nπ）＝sin（α＋2nπ＋π）－sinαsinαcosα＝sin（π＋α）－sinαsinαcosα＝－2sinαsinαcosα＝－2cosα＝－4.(1)同角三角函数基本关系的应用①已知一个三角函数求另外两个：利用平方关系、商式关系直接求解或解方程(组)求解．②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式；(i)齐次式为分式时，分子分母同除以cosα或cos2α，化成正切后代入．(ii)齐次式为整式时，分母看成1，利用1＝sin2α＋cos2α代入，再通过分子分母同除以cosα或cos2α化切．(2)用诱导公式化简求值的方法①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，π2±α，32π±α(或k·π2±α，k∈Z)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简．②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．1．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C．π6D．π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝3.因为|θ|＜π2，所以θ＝π3.2．已知3sin（π＋α）＋cos（－α）4sin（－α）－cos（9π＋α）＝2，则tanα＝________．解析：由已知得－3sinα＋cosα－4sinα＋cosα＝2，则5sinα＝cosα，所以tanα＝15.答案：153．已知－π2x0，sinx＋cosx＝15，则sinx－cosx的值为________．解析：由sinx＋cosx＝15，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，即2sinxcosx＝－2425，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.又因为－π2x0，所以sinx0，cosx0，sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.答案：－75已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ2)的图象上的一个最低点为M2π3，－2，周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移π6个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式．三角函数的图象及变换【解】(1)由题可知T＝2πω＝π，所以ω＝2.又f(x)min＝－2，所以A＝2.由f(x)的最低点为M，得sin4π3＋φ＝－1.因为0φπ2，所以4π34π3＋φ11π6.所以4π3＋φ＝3π2.所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin2x＋π6.(2)y＝2sin2x＋π6――――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）y＝2sin12×2x＋π6＝2sinx＋π6――――――――→沿x轴向右平移π6个单位y＝2sinx－π6＋π6＝2sinx，所以g(x)＝2sinx.(1)由图象或部分图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数①A：由最大值、最小值来确定A.②ω：通过求周期T来确定ω.③φ：利用已知点列方程求出．(2)函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)x∈R图象的两种方法1．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()解析：选A.令x＝0，得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.由f－π3＝0，fπ6＝0，排除C.2．要得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π6个单位D．向右平移π3个单位解析：选B.因为cos2x＋π3＝cos2x＋π6，所以只需把函数y＝cos2x的图象向左平移π6个单位即可得到y＝cos2x＋π3的图象，故选B.3．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A0，ω0，|φ|π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是()A．A＝3，T＝4π3，φ＝－π6B．A＝3，T＝4π3，φ＝－3π4C．A＝1，T＝4π3，φ＝－π6D．A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4解析：选D.由题图知函数的最大值为A＋2＝3，则A＝1，函数的周期T＝2×5π6－π6＝4π3＝2πω，则ω＝32，则y＝sin32x＋φ＋2，则当x＝5π6时，y＝sin5π6×32＋φ＋2＝3，即sin5π4＋φ＝1，即5π4＋φ＝π2＋2kπ，则φ＝－3π4＋2kπ，因为|φ|π，所以当k＝0时，φ＝－3π4，故A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4.已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－x·cosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．三角函数的性质【解】(1)f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z.f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)令z＝2x－π3，则函数y＝2sinz的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.设A＝－π4，π4，B＝x－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4.所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减．(1)三角函数的两条性质①周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋B的形式．(2)求三角函数值域(最值)的方法①利用sinx，cosx的有界性．②从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．③换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1．下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2解析：选A.因为函数的周期为π，所以排除C，D.因为函数在π4，π2上是减函数，所以排除B，故选A.2．(2019·郑州市第二次质量预测)已知函数f(x)＝sin2x－3π2(x∈R)，下列说法错误的是()A．函数f(x)的最小正周期是πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于点π4，0中心对称D．函数f(x)在0，π2上是增函数解析：选D.因为f(x)＝sin2x－3π2＝－sin3π2－2x＝cos2x，所以函数f(x)是偶函数，且最小正周期T＝2πω＝π，故A，B正确；由2x＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π4(k∈Z)，当k＝0时，x＝π4，所以函数f(x)的图象关于点π4，0中心对称，故C正确；当x∈0，π2时，2x－32π∈[－32π，－π2]，所以函数f(x)在0，π2上是减函数，故D不正确．故选D.(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．三角恒等变换【解】(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[提醒]要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用．1．计算：4tanπ123tan2π12－3＝()A．233B．－233C．239D．－239解析：选D.原式＝－23·2tanπ121－tan2π12＝－23tanπ6＝－23×33＝－239.2．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为________．解析：两式左右两边分别平方相加，得sin(A＋B)＝12，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝12，所以C＝π6或C＝5π6.又3sinA＝6－4cosB2，得sinA2312，所以Aπ6，所以C5π6，故C＝π6.答案：π63．已知α∈π2，π，sinα＝55，求sinπ4＋α的值．解：因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4·sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放