2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3.1 诱导公式二、三、四课件 新人教A

三角函数第五章5．3诱导公式第1课时诱导公式二、三、四课前自主预习1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．2．理解诱导公式的推导过程．3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝.原点－sinα－cosαtanα2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝.cos(－α)＝.tan(－α)＝.x－sinαcosα－tanα3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝.cos(π－α)＝.tan(π－α)＝.ysinα－cosα－tanα4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的函数值，前面加上一个把α看成时的符号．同名锐角原函数值1．设α为锐角，则180°－α，180°＋α，360°－α分别是第几象限角？[答案]分别为第二、三、四象限角2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式中角α是任意角.()(2)公式sin(－α)＝－sinα，α是锐角才成立．()(3)公式tan(π＋α)＝tanα中，α＝π2不成立．()(4)在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√课堂互动探究题型一给角求值问题【典例1】求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos119π6.[思路导引]利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角(一般为特殊角)的三角函数．[解](1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.(3)cos119π6＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[针对训练]1．计算：(1)tanπ5＋tan2π5＋tan3π5＋tan4π5；(2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.[解](1)原式＝tanπ5＋tan2π5＋tanπ－2π5＋tanπ－π5＝tanπ5＋tan2π5－tan2π5－tanπ5＝0.(2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－32－cos45°－tan45°＝－32－22－1＝－2＋3＋22.题型二化简求值问题【典例2】化简：(1)cos－αtan7π＋αsinπ－α；(2)sin1440°＋α·cosα－1080°cos－180°－α·sin－α－180°.[思路导引]利用诱导公式一～四化简．[解](1)cos－αtan7π＋αsinπ－α＝cosαtanπ＋αsinα＝cosα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.(2)原式＝sin4×360°＋α·cos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]＝sinα·cos－α－cosα·sinα＝cosα－cosα＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[针对训练]2．化简下列各式．(1)cosπ＋α·sin2π＋αsin－α－π·cos－π－α；(2)cos190°·sin－210°cos－350°·tan－585°.[解](1)原式＝－cosα·sinα－sinπ＋α·cosπ＋α＝cosα·sinαsinα·cosα＝1.(2)原式＝cos180°＋10°·[－sin180°＋30°]cos－360°＋10°·[－tan360°＋225°]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan180°＋45°]＝－sin30°－tan45°＝12.题型三给值(式)求值问题【典例3】若sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则tan(π－α)等于()A．－12B．－32C．－3D.33[思路导引]要寻找已知角与未知角之间的联系，然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示，从而得出结论．[解析]因为sin(π＋α)＝－sinα，根据条件得sinα＝－12，又α∈－π2，0，∴cosα0，所以cosα＝1－sin2α2＝32.所以tanα＝sinαcosα＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tanα＝33.故选D.[答案]D[变式](1)若本例把条件变为cos(2π－α)＝53，且α∈－π2，0，则tan(π－α)＝________.(2)若本例改为已知sinα－π4＝32，则sin5π4－α的值为________．[解析](1)因为cos(2π－α)＝cosα＝53，α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－23，则tan(π－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝－－2353＝25＝255.(2)sin5π4－α＝sinπ－α－π4＝sinα－π4＝32.[答案](1)255(2)32解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．[针对训练]3．已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()A.43B.34C．－43D．－34[解析]因为sinα＝35且α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.所以tan(π＋α)＝tanα＝－34.故选D.[答案]D课堂归纳小结1.四组诱导公式的记忆四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是为了公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.2.四组诱导公式的作用公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角；公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.