2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用课件 新

知识点几类常见函数模型(一)教材梳理填空名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋bk≠0反比例函数模型y＝kx＋bk≠0二次函数模型一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝ax＋b2a2＋4ac－b24aa≠0名称解析式条件指数函数模型y＝b·ax＋ca＞0且a≠1，b≠0对数函数模型y＝mlogax＋na＞0且a≠1，m≠0幂函数模型y＝axn＋ba≠0，n≠1(二)基本知能小试1．判断正误(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．()(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．()答案：(1)√(2)√2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)答案：C3．某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年解析：设从2018年起，再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件，根据题意，得2(1＋20%)n6，即1.2n3，两边取对数，得nlg1.2lg3，∴nlg3lg1.2＝lg3lg3－1＋2lg2≈6.03，又n为整数，∴n的最小值为7，又2018＋7＝2025，∴从2025年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件．故选D.答案：D题型一指数函数模型[学透用活][典例1]一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解](1)最初的质量为500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，∴t＝lg0.5lg0.9≈6.6.即这种放射性元素的半衰期为6.6年．[方法技巧]在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．[对点练清]1．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为________．解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，解得q%＝0.9150，即x年后的湖水量为0.950x·m.答案：y＝0.950x·m2．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了15.(1)求函数关系式p(t)；(2)要使污染物的含量不超过初始值的11000，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg2≈0.3)解：(1)根据题意，得45p0＝p0e－k，∴e－k＝45，∴p(t)＝p045t.(2)由p(t)＝p045t≤11000p0，得45t≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg2)≥3，∴t≥30.因此，至少还需过滤30个小时．题型二对数函数模型[学透用活][典例2]2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(2m)]＋4ln2(其中k≠0)．当燃料质量为(e－1)m吨时，该火箭的最大速度为4km/s.(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)[解](1)由题意得4＝k{ln[m＋(e－1)m]－ln(2m)}＋4ln2，解得k＝8，所以y＝8[ln(m＋x)－ln(2m)]＋4ln2＝8lnm＋xm.(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x，又y＝8，则8＝8ln479.8479.8－x，解得x≈303.3.故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s.[方法技巧]对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．[对点练清]有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝12log3x100－lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg2≈0.30,31.2≈3.74,31.4＝4.66)．(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？解：(1)由题意，x0＝2，x＝8100，得v＝12log38100100－lg2≈1.7，故此时候鸟的飞行速度为1.7km/min.(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得0＝12log3x100－lg5，即log3x100＝2lg5＝2(1－lg2)，解得x≈466，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位．(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，由题意得，2.5＝12log3x1100－lgx0，1.5＝12log3x2100－lgx0，两式相减可得1＝12log3x1x2，解得x1x2＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．题型三建立拟合函数模型解决实际问题[学透用活][典例3]某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.(1)若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lgx＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg2≈0.3，lg5≈0.7)．(2)若采用函数f(x)＝15x－ax＋8作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．[解](1)对于函数模型y＝lgx＋kx＋5(k为常数)，x＝100时，y＝9，代入解得k＝150，所以y＝lgx＋x50＋5.当x∈[50,500]时，y＝lgx＋x50＋5是增函数，但x＝50时，y＝lg50＋67.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求．(2)对于函数模型f(x)＝15x－ax＋8＝15－120＋ax＋8，a为正整数，函数在[50,500]上递增．由f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50,500]恒成立，所以a≥315.综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315.[方法技巧]函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数．(5)利用选取的拟合函数进行预测．(6)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．[对点练清]某企业常年生产一种出口产品，自2013年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2013年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出2013～2016年该企业年产量的散点图．(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式．(3)2017年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2017年的年产量为多少？解：(1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得a＋b＝4，3a＋b＝7，解得a＝1.5，b＝2.5，所以f(x)＝1.5x＋2.5.检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.080.1.f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.060.1.所以一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2017年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2017年的年产量为7万件．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有亏损B．略有盈利C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970299≈0.971.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．答案：A2．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝C，0x≤A，C＋Bx－A，xA.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元解析：根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝4，0x≤5，4＋12x－5，x5，所以f(20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.答案：A3．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是______．解析：设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝11m，即x＝11m－1.答案：11m－14．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．解析：由题意知，当t＝12时，y＝2，即2＝e12k，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e2×5×ln2＝210＝1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.答案：2ln2