2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.2 用二分法求方程的近似解

(一)教材梳理填空(1)二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的所在区间，使所得区间的两个逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．零点一分为二端点(2)用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)0.②求区间(a，b)的中点c.③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：a．若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；b．若f(a)f(c)0(此时x0∈(a，c))，则令＝c；c．若f(c)f(b)0(此时x0∈(c，b))，则令＝c.④判断是否达到精确度ε：若|a－b|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④.baε(二)基本知能小试1．判断正误(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．()(3)精确度ε就是近似值．()答案：(1)×(2)×(3)×2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案：A3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为()A．(0,0.5)，f(0.25)B．(0,1)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.5)，f(0.125)解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)0，f(0.5)0知x0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．故选A.答案：A题型一二分法的概念[学透用活]二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．[典例1]下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是()[解析]根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选D.[答案]D[方法技巧]判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[对点练清]1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.答案：D2．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解解析：如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A错误；二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，∴B错误；C只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D正确．答案：D题型二用二分法求方程的近似解[学透用活]用二分法求方程的近似解时要注意以下几个问题(1)明确题目要求的精确度；(2)确定初始区间，一般在两个整数间，初始区间的长度越小，计算次数越少；(3)按步骤依次进行计算，直至达到指定的精确度为止．[典例2]用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．[解]令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，f(0)·f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)fa＋b2(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)0f(0.75)0f(0.6875)0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1由于|0.6875－0.75|＝0.06250.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．[方法技巧]用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[对点练清]1．[变条件]若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？解：在本例的基础上，取区间(0.6875,0.75)的中点x＝0.71875，因为f(0.71875)＜0，f(0.75)＞0且|0.71875－0.75|＝0.03125＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．2．[变条件]若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝1”其结论又如何呢？解：设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－10，f(3)＝20.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.250，∴2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.43750，∴2.25x02.5；如此继续下去，有f(2.375)0，f(2.5)0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)0，f(2.4375)0⇒x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.06250.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]解析：∵f(－2)＝－30，f(1)＝60，f(－2)·f(1)0，∴可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．答案：A2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68B．0.72C．0.7D．0.6解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68＝12×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间(0.68，0.72)上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．答案：C3．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－60，f(4)＝60，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.254．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.答案：a2＝4b二、创新应用题5．用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据如下表：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＝－10，f(2)＝22＋2－4＝20.区间精确度区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)|2－1|＝1x1＝1.5f(x1)＝0.330(1,1.5)|1.5－1|＝0.5x2＝1.25f(x2)＝－0.370(1.25,1.5)|1.5－1.25|＝0.25x3＝1.375f(x3)＝－0.0350(1.375,1.5)|1.5－1.375|＝0.125∵|1.375－1.5|＝0.1250.2，∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.