2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数（第2课时）对数函

第2课时对数函数及其性质的应用(习题课)第四章指数函数与对数函数考点学习目标核心素养比较对数值的大小利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小逻辑推理解对数不等式会利用对数函数的单调性求解不等式逻辑推理、数学运算对数型函数的单调性会求与对数函数有关的复合型函数的单调性逻辑推理、数学运算第四章指数函数与对数函数考点学习目标核心素养与对数函数有关的值域与最值问题会利用对数函数的单调性及换元法求解与对数函数有关的值域或最值问题数学运算第四章指数函数与对数函数比较下列各组中两个值的大小．(1)ln0.3，ln2；(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.比较对数值的大小【解】(1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数．又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以1log0.23＜1log0.24，即log30.2＜log40.2.(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1，同理，1＝logππ＞logπ3，即log3π＞logπ3.比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．[注意]比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．1．下列式子中成立的是()A．log0.44log0.46B．1.013.41.013.5C．3.50.33.40.3D．log76log67解析：选D.因为log0.4x为减函数，故log0.44log0.46，故A错；因为1.01x为增函数，所以1.013.41.013.5，故B错；由指数函数图象特点知，3.50.33.40.3，故C错．2．已知a＝30.5，b＝log312，c＝log32，则()A．acbB．abcC．cabD．bac解析：选A.因为a＝30.51，b＝log3120，0c＝log321，所以acb.解下列不等式：(1)log17x＞log17(4－x)；(2)logx12＞1；(3)loga(2x－5)＞loga(x－1)．解对数不等式【解】(1)由题意可得x＞0，4－x＞0，x＜4－x，解得0＜x＜2.所以原不等式的解集为(0，2)．(2)当x＞1时，logx12＞1＝logxx，解得x＜12，此时不等式无解．当0＜x＜1时，logx12＞1＝logxx，解得x＞12，所以12＜x＜1.综上所述，原不等式的解集为12，1.(3)当a＞1时，原不等式等价于2x－5＞0，x－1＞0，2x－5＞x－1，解得x＞4.当0＜a＜1时，原不等式等价于2x－5＞0，x－1＞0，2x－5＜x－1，解得52＜x＜4.综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞4}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为x|52＜x＜4.两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)logag(x)的不等式．①当0a1时，可转化为f(x)g(x)0；②当a1时，可转化为0f(x)g(x)．(2)形如logaf(x)b的不等式可变形为logaf(x)b＝logaab.①当0a1时，可转化为f(x)ab；②当a1时，可转化为0f(x)ab.[注意]解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．1．已知log0.22xlog0.2(x－1)，则x的取值范围为________．解析：因为函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，所以由log0.22xlog0.2(x－1)得2x0，x－10，2xx－1，解得x1，即x的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)2．已知loga(3a－1)＞0恒成立，求a的取值范围．解：由题意知loga(3a－1)0＝loga1.当a1时，y＝logax是增函数，所以3a－11，3a－10，解得a23，所以a1；当0a1时，y＝logax是减函数，所以3a－11，3a－10，解得13a23.所以13a23.综上所述，a的取值范围是13，23∪(1，＋∞)．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间12，2上的值域．对数型函数的单调性【解】(1)由4x－10，解得x0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0x1x2，则04x1－14x2－1，因此log4(4x1－1)log4(4x2－1)，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)因为f(x)在区间12，2上单调递增，又f12＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在区间12，2上的值域为[0，log415]．求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤(1)求出函数的定义域．(2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性．(3)判断出函数的增减性求出单调区间．[注意]要注意对底数进行分类讨论．求函数f(x)＝log2(1－2x)的单调区间．解：因为1－2x＞0，所以x＜12.又设u＝1－2x，则y＝f(u)是(0，＋∞)上的增函数．又u＝1－2x，则x∈－∞，12时，u(x)是减函数，所以函数f(x)＝log2(1－2x)的单调递减区间是－∞，12，无单调递增区间．已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．与对数函数有关的值域与最值问题【解】(1)由题意得1＋x0，3－x0，解得－1x3.所以f(x)的定义域为(－1，3)．(2)f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]，－1x3，若0a1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，所以loga4＝－2，即a－2＝4，又0a1，所以a＝12.若a1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．综上可知，a＝12.求对数型函数值域(最值)的方法对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数．(2)求f(x)的定义域．(3)求u的取值范围．(4)利用y＝logau的单调性求解．设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1，3]时，求f(x)的最大值．解：(1)由f（1）＝1，f（2）＝log212，得log2（a－b）＝1，log2（a2－b2）＝log212，所以a－b＝2，a2－b2＝12，即a－b＝2，a＋b＝6，所以a＝4，b＝2.(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，设t＝2x，因为x∈[1，3]，所以t∈[2，8]．令u＝4x－2x＝t2－t＝t－122－14，所以当t＝8，即x＝3时，u最大，umax＝56，故f(x)的最大值为log256.1．函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域为()A．(3，＋∞)B．(－∞，3)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]解析：选C.因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3.2．函数y＝lg|x|是()A．偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增B．偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减C．奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增D．奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减解析：选B.易知函数y＝lg|x|是偶函数．当x0时，y＝lg|x|＝lgx，所以在区间(0，＋∞)上单调递增．由偶函数的性质知，函数在区间(－∞，0)上单调递减．3．已知函数f(x)＝logax(0a1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为()A.14B.22C.24D.12解析：选C.由题意知，f(x)＝logax(0a1)为减函数，则f(x)max＝f(a)＝1，f(x)min＝f(2a)＝1＋loga2，所以1＝3(1＋loga2)，即loga2＝－23，解得a－23＝2，即a＝24，故选C.4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是－12，＋∞.答案：－12，＋∞5．已知对数函数f(x)的图象过点(4，2)，试解不等式f(2x－3)f(x)．解：设f(x)＝logax(a0且a≠1)，因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)f(x)⇒log2(2x－3)log2x⇒2x－30，x0，2x－3x⇒x3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放